Prueba de inducción $n!>2n$ para todos los enteros $n>3$

Question

Estoy tratando de resolverlo, pero estoy atascado con

$$(k+1)k!>2(k+1)$$

Answer 1

Según nuestra inducción, deberíamos tener

$$(k+1)k!>(k+1)(2k)>2(k+1)$$

ya que asumimos $k!>2k$ . Por último, comprobamos $k=4$ .

Answer 2

Caso base: $4!=24 > 8 = 2\cdot 4$

Supuesto de inducción: $k>3$ y $k!>2k$

$$\begin{align} (k+1)! &= (k+1)k! \\ &>(k+1)2k \tag{ind. hyp}\\ &>2(k+1) \\ \end{align}$$

Por lo tanto, la inducción se mantiene y $n!>2n$ para $n>3$ .

Como se puede ver, se trata de un límite inferior muy flojo para $n!$ . Podríamos lograr $n!>5n$ en esencia el mismo argumento.

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De hecho eso es tan flojo que me pregunto si la intención original era afirmar que $n!>2^n$ para $n>3$ . En cuyo caso la inducción va:

Caso base: $4!=24 > 16 = 2^4$

Supuesto de inducción: $k>3$ y $k!>2^k$

$$\begin{align} (k+1)! &= (k+1)k! \\ &>(k+1)2^k \tag{ind. hyp}\\ &>2^{k+1} \tag{$k\mathord+1>2$} \\ \end{align}$$