Determinar dónde un mapa de Möbius toma ánulos

Question

Estoy algo desconcertado sobre cómo determinar dónde toma regiones un determinado mapa de Möbius. Por ejemplo, consideremos los anillos

$$A_{1,2}:=\{z\in\mathbb{C}:1<|z|<2\}$$ $$A_{\frac{1}{2},1}:=\{z\in\mathbb{C}:1/2<|z|<1\}$$

y el mapa de Möbius

$$ \mu(z) = \frac{(1-i)z+(1+i)}{(1+i)z+(1-i)} $$

Por ejemplo, podemos tomar tres puntos límite y ver que están mapeados en una determinada zona del semiplano superior. También sabemos que si los tres puntos no son colineales, deben definir un círculo. Pero, ¿cómo podemos determinar a partir de esto la imagen completa del mapeo?

Probablemente podamos determinar así los límites de las regiones. ¿Significa esto que el resto de los puntos se situarán necesariamente entre los dos límites, ya que sólo tendremos una cantidad infinita de círculos dentro de esos límites?

Apreciaría un poco de información.

Answer 1

Las transformaciones de Mobius mapean circlines a circlines, por lo que puedes determinar la imagen de cada círculo límite de tu anillo mirando la imagen de tres puntos de ese círculo. Las imágenes dividirán el plano en algunas regiones conectadas. Como una transformación de Mobius es continua, mapea regiones conectadas a regiones conectadas. Así que puedes determinar qué región conectada en el espacio de la imagen es golpeada por tu círculo simplemente tomando la imagen de un solo punto del interior del círculo.