Espacio de trazos y condición de contorno de Neumann

Question

¿En qué sentido es posible resolver $\Delta u=0$ , $\partial_\nu u=\phi$ , para $\int\phi=0$ en un dominio cerrado, por ejemplo una bola $B^3\subset\mathbb R^3$ ?

Por ejemplo, ¿podría un $\phi\in L^p(\partial B^3)$ , $1< p<2$ ¿tiene sentido?

En otras palabras, ¿es $W^{1,p}$ realmente el espacio de rastreo correcto, o bien, ¿cuál es?

¿Dónde puedo encontrar este tipo de resultados?

Gracias.

Answer 1

Se puede resolver el problema con aún menos regularidad que en la respuesta de Rekalo. Si $u\in W^{1,p}(\Omega)$ no tiene una traza normal en general. Pero si además se asume que $\Delta u\in L^p(\Omega)$ entonces la traza normal está bien definida y pertenece a $W^{-1/p',p}(\partial\Omega)$ , donde $p'$ es el exponente conjugado. Este espacio es de orden negativo, por lo que no está contenido en ningún $L^q$ . Se define como el espacio dual de $W^{1/p',p'}(\partial\Omega)$ . Dado que este último contiene la función ${\bf 1}$ tiene sentido decir que la integral de $\phi$ es cero: basta con escribir $\langle\phi,{\bf 1}\rangle=0$ . Bajo esta condición, el problema de valor límite de Neumann admite una solución, única hasta una constante aditiva.

Answer 2

Si está interesado en $L^p$ -probablemente se busquen soluciones que pertenezcan a una clase de Sobolev $H^{s,p}(\Omega)$ con algunos $s>0$ y $p>1$ . En este caso, el espacio de Besov $B^{s-1-1/p,p}(\partial\Omega)$ es el espacio de trazas "correcto". En particular, el mapa de restricción $$\rho: H^{s,p}(\Omega)\to B^{s-1-1/p,p}(\partial\Omega)$$ $$u\mapsto \partial_{\nu} u$$ está bien definida para todos los $s>1+1/p$ y es suryectiva.

En cuanto al problema de Neumann, se cumple el siguiente resultado

Teorema. Dejemos que $s>1+1/p$ donde $1< p< \infty$ . Entonces el problema de Neumann $$\begin{cases} \triangle u=f & \mbox{in }\Omega,\\\ \partial_{\nu} u=\phi & \mbox{on }\partial\Omega\end{cases}$$ tiene una solución única $u$ en el espacio $H^{s,p}(\Omega)$ para cualquier $f\in H^{s-2,p}(\Omega)$ y cualquier $\phi\in B^{s-1-1/p,p}(\Omega)$ .

Echa un vistazo a la muy accesible exposición por Kazuaki Taira.