espectro de desplazamiento compacto ponderado hacia delante

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert complejo separable de dimensión infinita con base ortonormal $(e_n)_n$ .

Dejemos que $T$ sea el desplazamiento unilateral ponderado hacia delante de manera que $Te_n=t_n e_{n+1}$ .

Supongamos que $T$ es compacto. Encuentra $\sigma(T)$ .

Cosas que sé:

Sé que $\sigma(T)$ es siempre compacto y, por tanto, cerrado. Así que sospecho que $\sigma(T)$ es el cierre de algún conjunto, ¿tal vez los valores propios?

Aparte de eso, no estoy seguro de cómo continuar.

Cualquier ayuda o idea se agradecerá.

Answer 1

Pistas: como se menciona en los comentarios, $t_n\to 0$ . Los pesos que asumo son positivos por definición. Ahora bien, como $\|Tx\|^²=\sum|t_nx_n|^2$ no es difícil demostrar que $\|T\|=\max \{t_n\}.$ De hecho, inductivamente, demuestre que

$\tag1 \|T^n\|=\max_k\{t_kt_{k+1}\cdots t_{k+n-1}\}$

Ahora, elige $n$ lo suficientemente grande como para que $t_n<\epsilon$ siempre que $n\ge N$ así que

$\tag2 t_{k+N}\cdots t_{k+n-1}\le \epsilon^{n-N-1}$

Por último, combina $(1)$ y $(2)$ con la fórmula del radio espectral para demostrar que $\sigma (T)=0.$