¿Las funciones positivas casi periódicas cuyos valores medios convergen a 0 también convergen a 0

Question

Dejemos que $\{f_{n}\}, f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ sea una secuencia infinita de funciones casi periódicas, y que la secuencia de sus valores medios $M\{f_{n}\}$ convergen a $0$ . Entonces $\{f_{n}\}$ convergen a la función cero $f(x)=0$ , $x\in\mathbb{R}$ ?

Si esto no es cierto en general, ¿qué condiciones adicionales deben $\{f_{n}\}$ para converger a la función cero?

Se sabe que una función casi periódica $g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ es la función cero si $M\{g\} = 0$ .

¿Existe alguna literatura que trate esta cuestión?

Answer 1

Dejemos que $g\geq 0$ sea casi periódica y diferente de la función cero, entonces $M(g)>0$ . Esto se puede encontrar en "Katznelson Y., Introduction to Harmonic Analysis", p. 177.

Sin embargo, si tiene una secuencia $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de función casi periódica no negativa que converge en media a cero, entonces $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ no converge puntualmente a la función cero. Definir

$$ h_n: [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}^+, h_n(x)=\begin{cases} 1 - n\vert x \vert + 1/n,& x\in [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}],\\ 1/n,& \text{else.} \end{cases}$$

Dejemos que $f_n$ sea la extensión periódica de $h_n$ . En los cálculos

$$ M(f_n)= \int_{0}^{1/n} 1 - n\vert x \vert + 1/n \ dx = \frac{1}{2n} + \frac{1}{n^2} \rightarrow 0.$$

Pero, $f_n(0)=1$ para todos $n\in \mathbb{N}$ y por lo tanto $f_n$ no converge puntualmente a la función cero.