¿Se debe inferir el dominio de una función?

Question

Es una práctica común de los estudiantes de primaria álgebra inferir el dominio de una función como un ejercicio. Creo que esto es contrario al espíritu de la definición de una función como un conjunto de pares ordenados, no hay dos que tengan el mismo primer término. En serio, conjunto teórico de las presentaciones de las funciones, las relaciones, de las que las funciones son un caso especial, vienen primero, y a la definición de dominio y el rango. Por lo tanto, si cualquier inferencia que se debe hacer, parece que debe ser de la "fórmula", o regla explícita, si es que la hay, que define la forma en la ordenada se obtiene a partir de la abscisa.

Lo que la deducción de las cantidades que, en la práctica, es encontrar qué valores de la variable independiente sería el resultado en el denominador es 0 o positivo incluso de la raíz de un número negativo. Esto suena como un hecho a fin de ejercicio para los estudiantes de álgebra básica, y por lo que puedo entender la tentación de tomar este camino. Aún así, me parece ir contra el espíritu de la materia. Además, recuerdo haber visto en algún lugar una discusión que corría algo como esto:

A. ¿por Qué no está de acuerdo que el dominio de la función es el conjunto de todos los valores para que la fórmula sea significativo?

B. no se puede hacer incluso que, debido a un máximo de estos valores no es necesariamente única.

Altavoz B, luego pasa a dar un ejemplo claro, donde hay más de un máximo conjunto de números que satisface la fórmula. Si recuerdo correctamente, este diaglog fue en un libro de variables complejas, o dentro de un amplio debate con respecto a variables complejas. Por supuesto, se puede construir fácilmente un crudo contraejemplo citando la función que tiene cada número a su raíz cuadrada: para los números reales, el dominio es el conjunto de no-negativos de los números reales, pero para los números complejos, el dominio es el conjunto de todos los números complejos. Sin embargo, creo que el ejemplo dado por los altavoces B tenía algo que ver con un complicado denominador. No conozco a nadie en el cuadro de diálogo o ejemplo que me estoy refiriendo?

Así que, creo que la respuesta a esta pregunta es negativa, pero yo quería ver lo que la comunidad piensa.

Después de todo, aquí en el MSE, nos parecen tomar este tipo de ejercicios con calma, como aquí:

Dominio de una función

y aquí:

Encontrar una función del dominio de la función de la fórmula de

Answer 1

La inferencia de un dominio puede ocultar algunos de los problemas más sutiles que bien puede ser trivial en un nivel de principiante, pero se vuelven más críticos más adelante. Como tal, mi opinión personal es que uno debe ser muy explícito en los niveles inferiores, y no preocuparse mucho más arriba en la cadena alimentaria - cuando todo el mundo tiene la comprensión que se requiere para ver las sutilezas y las dificultades potenciales en lo que el dominio es.

Mi ejemplo canónico de este en la enseñanza de primer año de pregrado fue la continuidad y límites de funciones. Un estándar de la tarea problema es algo a lo largo de las líneas de

"Vamos a $f: \mathbb{R}\backslash \{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ ser dado por $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$. Mostrar que $\lim_{x \rightarrow 1}f(x) = 2$."

La forma inteligente de hacer esto es decir que podemos factor de la $(x-1)$ desde la parte superior, cancelar desde la parte inferior para obtener la función continua $x+1$. Entonces, por las propiedades de funciones continuas, el límite es de $f(1) = 2$.

Esta es la idea correcta, pero la mayoría de los estudiantes terminan diciendo algo como $f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1$: y este es continua en a $\mathbb{R}$ etc etc.

El punto es que una vez que obtenga por qué usted tiene que tener cuidado con este argumento, el hecho de $f$ no está definida en el conjunto de la $\mathbb{R}$, pero se puede decir que donde está definido es igual a $x+1$ (y esto hace el trabajo, si usted es cuidadoso), usted realmente consigue el punto entero de un montón de muy sutiles ideas en el análisis que puede ser un gran molestan más tarde.

Así que incluso más abajo en la cadena alimentaria hay un beneficio real a ser explícito: se enseña a la gente a preocuparse por las cosas antes de que sea absolutamente necesario.

Answer 2

Voy a abordar a y B en orden inverso.

B. no se puede hacer incluso que, debido a un máximo de estos valores no es necesariamente única.

Para alguien en pre-cálculo/cálculo que se ha de hacer estos tipos de problemas, hay, esencialmente, tres restricciones sobre estos conjuntos:

• La división por cero (lo que incluye casos como el de $\csc(0)$)
• Raíces, donde indefinido
• Logaritmos donde indefinido

También, los dominios están generalmente restringidas a ser subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$. En esa situación, cualquier composición de funciones elementales tiene un único máximo de dominio. Ahora, si cambiamos el dominio de a $\mathbb{C}$, entonces estamos saliendo de la caja de los cursos, y se puede argumentar acerca de las opciones de la rama principal de logaritmo o de director raíces...

A. ¿por Qué no está de acuerdo que el dominio de la función es el conjunto de todos los valores para que la fórmula sea significativo?

Creo que hay un problema con esto, pero mi principal problema es que no se de que esto está en desacuerdo con la manera en que los dominios de las funciones generalmente son tratados en más cursos teóricos. En mi opinión, el problema está en cómo los dominios que terminan siendo utilizado. En el cálculo especialmente, la preocupación no es realmente acerca de un máximo de dominio (que puede ser único en la espera de los casos), pero se trata de una máxima conectado dominio, que no es ciertamente único en general. Ella es única cuando se requiere de un punto en particular en el interior, pero esto es pasado por alto.

No es un buen lector de la encuesta en la n-cat café discutiendo el tema de "la antiderivada general de $1/x$" y el hecho de que cuando usted está trabajando en cualquier lado del cero, $\log\left|x\right|+C$ será suficiente, pero técnicamente no en general. Wikipedia también trae a colación el problema similar de antiderivatives de $\tan x$. Este tipo de problemas también surgen cuando se pide a los alumnos resolver "bastante sencillo" separables ecuaciones diferenciales al caso distinciones son barridos bajo la alfombra.

En resumen, creo que la máxima conectado dominios debe ser enfatizado más, porque eso es lo que te importa cuando se tiene un valor inicial el problema a resolver, etc.

Answer 3

El dominio no se debe inferir ya que hay situaciones donde la función se comporta extraño como discontinua o permitiendo la división posible 0 o una raíz cuadrada u otra raíz incluso de un número negativo, o tomando un logaritmo de un número negativo, o de otra función con mal comportamiento en un punto. Nota cómo en análisis complejo se seleccionan ramas principales.

Answer 4

Estoy de acuerdo con el autor de la pregunta que inferir el dominio de la definición de la función es hacia atrás. Hay un par de puntos que creo que valdría la pena añadir a las respuestas anteriores.

En primer lugar, no es muy claro para mí que el de la instalación en la que toda la matemática que está sucediendo es $\mathbb{R}$. No parece haber ninguna razón en particular, ¿por qué no trabajar en $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ o $\mathbb{R} \cup \{-\infty, + \infty \}$ o $\mathbb{C}$ y así sucesivamente. Yo no sería demasiado fuerte oposición a las declaraciones como "$\sqrt{x}$ existe para todas las $x \in \mathbb{R}$; si $x \geq 0$$\sqrt{x} \in \mathbb{R}$, y si $x \leq 0$$\sqrt{x} \in i \mathbb{R}$", o "$ \log 0 = -\infty$", o incluso "$\log (+\infty) = +\infty$".

En segundo lugar, uno no siempre (casi nunca?) interesado en una función puramente conjunto teórico del objeto. Lo que importa es que una función tiene algunas propiedades deseables, por ejemplo, que es suave, satisface una ecuación diferencial. Pensaría dos veces antes de permitir que un punto singular en un dominio de una función suave (que, naturalmente, depende de donde la función proviene). Si yo tuviera un (complejo valorado) de la función dada por $f(z) = \sum_n a_n z^n$,$|a_n| \to 1$, creo firmemente que sienten que el derecho de dominio es $\{ |z| < 1\}$, incluso si la serie converge para algunos $z$$|z| = 1$.

Por último, permítanme señalar que gran parte de las matemáticas fue acerca de la extensión de los dominios de las funciones. Los números complejos fueron el primer pensamiento de porque la gente quería tomar raíces de números negativos. Continuación analítica es en gran parte acerca de la extensión de dominio de funciones fuera de lo que normalmente sería. Funcional cálculo se extiende a los dominios de definición de las funciones para matrices/operadores en espacios de Banach. No estoy diciendo que debemos enseñar a la gente de que el dominio de $\sin x$ incluye todos los operadores acotados en todos los espacios de Banach, pero las matemáticas está avanzando en la dirección inversa.