Dadas dos variables aleatorias discretas $X$ y $Y$ . Calcula $Pr(X-Y<=0)$ .

Question

Dadas dos variables aleatorias discretas independientes $X$ y $Y$ que siguen la misma distribución: Cada uno puede tomar $n^2$ diferentes valores positivos cada uno con probabilidad $\frac{1}{n^2}$ .

Me interesa la probabilidad de que $X-Y\leq 0$ : $Pr(X-Y\leq 0)$ . Sé que se puede hacer esto definiendo $Z:=X-Y$ y el cálculo de la distribución de $Z$ : $Pr(Z=z)$ .

Pero en este caso tendré que repasar todas las posibles $z$ y descubre cuántas formas hay de construir $z$ Por ejemplo, si $z=5$ y $X$ y $Y$ puede tomar valores de ${\lbrace1, ..., 10\rbrace}$ que tengo que repasar todas las combinaciones posibles sobre cómo construir $5$ Así que $10-5, 9-4, 8-3, 7-2, 6-1$ ya que no conozco los valores exactos $X$ y $Y$ puede tomar (sólo que hay $n^2$ muchos) esto parece poco práctico.

¿Hay alguna forma inteligente de hacerlo? Desde $X$ y $Y$ tienen la misma distribución tal vez algo así como $Pr(Z=z)=$ (número de formas de construir $z$ ) $(\frac{1}{n^2})^2$ . Pero, ¿cómo puedo obtener el número de formas de construir $z$ ?

Answer 1

Si las variables no son independientes, no hay una respuesta fija: depende de cómo $X$ y $Y$ están relacionados. Algunos ejemplos: Podrías tener $X$ y $Y$ vinculado para que $X=Y$ siempre; entonces la probabilidad es $1$ . Si la distribución es cada una de $\{1,2,\dots,n^2\}$ con igual probabilidad (por ejemplo), entonces podría tener $X=n^2+1-Y$ donde la probabilidad es $1/2$ .

Sin embargo, si son independientes, hay una respuesta fija. Es mejor no pensar en ello en términos de $Z=X-Y$ y en su lugar pensar en términos de $\operatorname{Pr}[X\leq Y]$ -- esta última cantidad no depende realmente de los posibles valores de $X$ y $Y$ Sólo su pedido, por lo que puede dejar que $X$ y $Y$ tomar cada $a_i$ con $a_1<a_2<\cdots<a_{n^2}$ con probabilidad $1/n^2$ y la pregunta es sólo la probabilidad de que, si $X=a_i$ y $Y=a_j$ , $i\leq j$ . ¿Puede calcularlo directamente?

Answer 2

Sugerencia: arreglar $X=x$ (lo que ocurre con probabilidad $P[X=x]$ y, a continuación, calcular la probabilidad de que $Y\geq x$ dado $X=x$ . Utilizando esto, calcula $P[X=x \wedge Y\geq x]$ . Si $X$ y $Y$ son uniformes e independientes, esto debería ser una tarea sencilla. A continuación, sumemos todas las opciones de $X$ .