Capítulo 1: La búsqueda interminable
Sé que es muy difícil visualizar casos de dimensiones infinitas, pero hagamos una visita guiada al hermoso mundo de las dimensiones infinitas.
En primer lugar, tratemos de entender qué obstáculos vamos a encontrar. El problema principal es el lema de Riesz y su corolario: una esfera unitaria de dimensión infinita no es compacta. Daré la prueba más adelante, sólo porque es muy instructiva.
Antes de la prueba, vamos a visualizar el proceso de búsqueda del valor de $d(0, y+Y)$ , donde $Y$ es una arbitraria cerrado subespacio vectorial de $X$ y $y \in X \setminus Y$ (para excluir el caso trivial). Todo subespacio cerrado corresponde siempre al núcleo de algún operador lineal. En particular, los hiperplanos se obtienen a partir de los núcleos de los funcionales lineales mediante traslaciones.
Denote $S_X$ una esfera de la unidad $\{x \in X \mid ||x||=1\}$ centrado en cero, y por $S_Y$ la intersección $S_X \cap Y$ . Equipa ambos $S_X$ y $S_Y$ con topologías, inducidas por $||\cdot||$ .
Definir una función $R : S_Y\times \mathbb{F} \to \mathbb R$ como $R(s, t) = ||ts + y||$ . $R$ es obviamente continua. Por lo tanto, $r(s) = \min_{t \in \mathbb F} R(s,t): S_Y \to \mathbb R$ también es continua. Está bien escribir mínimo, ya que $||ts + y|| \to \infty$ como $|t| \to \infty$ y, por tanto, siempre podemos considerar un subconjunto compacto $K$ de $\mathbb F$ s.t. $\forall t \in K$ $||ts + y|| \leq ||y||$ .
Ahora, como tenemos nuestra herramienta principal $r$ veamos lo que hemos creado. La función $r$ toma un vector unitario $s \in Y$ señalización de $y$ y nos da la distancia mínima entre el origen y nuestra trayectoria a medida que avanzamos $s$ (esta analogía es más conveniente en caso de que $\mathbb F = \mathbb R$ pero espero que todo el mundo entienda lo que está pasando).
Así, para encontrar $d(0, y+Y)$ Hay que buscar $\inf_{s \in S_Y} r(s) = d(0, y+Y)$ . Existe, ya que $r$ es no negativo por la definición. Pero puede o no alcanzarse, ya que $S_Y$ es siempre compacto, cuando $\dim Y \leq \infty$ y nunca es compacto de otra manera.
¿Qué ocurre cuando no se alcanza el infinito? La respuesta está contenida en la demostración del lema de Riesz y su corolario.
Dejemos que $X$ sea un espacio normado, $Y \subset X$ sea un subespacio vectorial, $\varepsilon > 0$ . Un vector $h \in X$ se llama $\varepsilon$ -perpendicular a $X_0$ si $||h||=1$ y $d(h, Y) \geq 1 - \varepsilon$ . Se denomina $h \perp_\varepsilon Y$ .
En un espacio de dimensiones finitas, e incluso en un espacio de Hilbert, $0$ -Las perpendiculares, o simplemente perpendiculares, existen para cualquier subespacio cerrado (cualquier subespacio de dimensión finita es siempre cerrado, por cierto). El algoritmo para encontrarlas es bien conocido. Pero en un espacio normado arbitrario $0$ -Las perpendiculares pueden no existir incluso para algunos subespacios cerrados, como veremos en el tercer capítulo. Sin embargo,
Para un subespacio vectorial cerrado $Y$ de un espacio normado $X$ y una arbitraria $\varepsilon > 0$ existe un $\varepsilon$ -perpendicular a $Y$ .
Prueba Tomar un $x \in X \setminus Y$ . Denote $d = d(x,Y) > 0$ .
$\forall \delta > 0$ $\exists x_\delta \in Y$ s.t. $d(x, x_\delta) \leq d + \delta$ (esto se deduce de la definición de $d(x,Y)$ ). Definir $$ h_\delta := \frac{x-x_\delta}{d(x,x_\delta)}. $$
$\forall y \in Y$ tenemos $$ d(h_\delta, y) = \left|\left| \frac{x-x_\delta}{d(x,x_\delta)} - y\right|\right| = \frac{||x - (x_\delta + d(x,x_\delta) y)||}{d(x,x_\delta)} \geq \frac{||x - z||}{d + \delta} \geq \frac{d}{d + \delta}, $$ donde $z = x_\delta + d(x,x_\delta) y \in Y$ . Por lo tanto, $$ d(h_\delta, y) \geq \frac{d}{d + \delta}, \to 1 $$ como $\delta \to 0$ . Q.E.D.
Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita. Entonces $S_X$ no es compacto.
Prueba Existe una cadena de subespacios vectoriales $$ 0 = X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \dots $$ en nuestro espacio $X$ s.t. $\forall n \in \mathbb N$ $\dim X_n = n$ . De lo contrario, $X$ es de dimensión finita.
Obsérvese que $\forall n \in \mathbb N$ $X_n$ se cierra automáticamente. Por lo tanto, $\forall n \in \mathbb N$ $\exists h_n \in X_{n+1}$ s.t. $h_n \perp_{\frac 12} X_n$ . Por lo tanto, $\forall n \in \mathbb N$ $h_n \in S_X$ y $\forall i \neq j \in \mathbb N$ $d(h_i, h_j) \geq \frac 12$ . Q.E.D.
La última construcción parece una escalera infinita en espiral alrededor de la esfera unidad. Podemos bajar la escalera infinitamente en busca de un $0$ -perpendicular, pero puede que nunca lo encontremos. Por otro lado, podemos acercarnos a ella tanto como queramos. Este tipo de cosas ocurren de vez en cuando, especialmente en el análisis funcional.
Capítulo 2: Entre dos llanuras
Volvamos a los hiperplanos. Supongamos que existe una perpendicular $h$ a $H_1$ . Entonces $d(0, H_1) = |d|$ , donde $d \in \mathbb F$ es un número tal que $dh \in H_1$ . En otras palabras, $d(0, H_1)$ es la distancia habitual en $\mathrm{span}(h)$ (que es $1$ -) entre el origen y el punto de intersección $\mathrm{span}(h) \cap H_1$ . Obsérvese también que $d(0, H_1)$ es la distancia entre dos llanuras paralelas $H_1$ y $\ker f$ y esa es exactamente la longitud del "segmento" entre ellos en cualquier línea ( $1$ -dimesional) perpendicular a ellos.
Sin embargo, este no es el caso general, como ya sabemos. En general, sólo tenemos $\varepsilon$ -perpendiculares para $\varepsilon > 0$ . Pero podemos tomar $h_\varepsilon \perp_\varepsilon H_1$ y considerar $d(0, K_\varepsilon)$ , donde $K_\varepsilon = \mathrm{span}(h_\varepsilon) \cap H_1$ es un subconjunto acotado y cerrado, por tanto compacto, de $\mathrm{span}(h_\varepsilon) \simeq \mathbb F$ . Así que $d(0, K_\varepsilon) = \min_{x \in K_\varepsilon} ||x||$ . En realidad, ni siquiera tenemos que tomar ningún punto particular de $K_\varepsilon$ ya que el diámetro de $K_\varepsilon$ tiende a $0$ como $\varepsilon \to 0$ pero no voy a demostrarlo :) Así, a veces no somos capaces de visualizar $||f||$ pero siempre podemos acercarnos a nuestro sueño tanto como queramos.
El siguiente resultado formaliza los dos párrafos anteriores.
Dejemos que $X$ sea un espacio normado, sea $f \in X^* / {0}$ y que $X_0 = \ker f$ . Entonces existe un $0$ -perpendicular a $X_0$ en $X$ si y sólo si $f$ es normal.
Prueba
Además, vamos a suponer que $||f||=1$ sin pérdida de generalidad (tomar $||f||^{-1}f$ en caso contrario).
Dejemos que $x$ ser un $0$ -perpendicular a $X_0$ y $f(x) > 0$ . Entonces $\forall y \in X$ $\exists x_0 \in X_0$ tal que $y = \frac{f(y)}{f(x)}x + x_0$ . Así que $\forall y \in S_X$ $$ 1 = ||y|| = \left|\left|\frac{f(y)}{f(x)}x + x_0\right|\right| \geq \left|\frac{f(y)}{f(x)}\right| ||x|| = \left|\frac{f(y)}{f(x)}\right|. $$ Por lo tanto, $\forall y \in S_X$ $$ f(x) \geq |f(y)|, $$ así que $$ 1 = ||f|| = f(x). $$
Dejemos que $f$ alcanzar su norma en $x \in S_X$ . Entonces $\forall x_0 \in X_0$ $$ ||x - x_0|| = ||f|| ||x - x_0|| \geq |f(x - x_0)| = |f(x)| = 1. $$ Desde $1 = ||x|| = ||x - 0||$ ( $0 \in X_0$ ), $x$ es un $0$ -perpendicular a $X_0$ . Q.E.D.
Además, se pueden encontrar fácilmente tipos de funcionales que cumplen la norma y otros que no la cumplen. Los funcionales que cumplen la norma son los únicos habituales en los duales de los espacios de dimensión finita. El caso de las dimensiones infinitas ofrece más diversidad, como es habitual.
Existe un funcional que no alcanza su norma.
Prueba En efecto, consideremos una secuencia de números $$ \alpha =(\alpha_n)_{n \in \mathbb N} = \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb N} $$ y el correspondiente funcional lineal $f_\alpha : (c_{00}, ||\cdot||_1) \to \mathbb{C}$ : $$ f_\alpha (x) = \sum_{n = 1}^\infty \alpha_n x_n. $$ Esta definición es obviamente correcta. También está claro que $||f_\alpha|| = 1$ pero $f_\alpha$ no se ajusta a la norma. Q.E.D.
Conclusión:
A veces no conseguimos exactamente lo que queremos, pero, creo, que en este caso conseguimos algo aún mejor. De lo contrario, las matemáticas serían mucho más aburridas.
Espero haberte dado una buena visión. De todas formas, me ha encantado ayudar y siempre estoy dispuesto a responder a tus preguntas y a mejorar mi post.
