Distribución normal Pregunta del alcalde

Question

Tengo problemas para hacer esta pregunta de mi libro de texto. ¡Si pudierais ayudarme sería genial!

Un candidato que se presenta a la alcaldía de una gran ciudad, afirma que es favorecido por $53\%$ de todos los votantes elegibles de esa ciudad. Supongamos que su afirmación es cierta. Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de $400$ votantes registrados tomados de esta ciudad, menos de $49\%$ favorecerá al candidato.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el número de votantes que votan al Candidato. Por supuesto $X$ se distribuye binomialmente con $n=400$ y $p=0.53$ . La expectativa de $X$ es $E[X]=np=212$ . La varianza de $X$ es $Var[X]=np(1-p)=99.64$ . Por el Teorema Central del Límite $X$ puede ser aproximada por una variable aleatoria normal $Y$ con la media $\mu=212$ y $\sigma=\sqrt{99.64}$ . Por lo tanto, $Z:= (Y-\mu)/\sigma$ es una variable aleatoria gaussiana normalizada, lo que significa que su función de distribución viene dada por $\Phi$ . Por lo tanto, $$P[X < 0.49\times 400]=P[X < 196] \approx P[Y < 196]=P[(Y-212)/\sqrt{99.64} < (196-212)/\sqrt{99.64}]=P[Z < (196-212)/\sqrt{99.64}] \approx P[Z < -1.6029]=\Phi(-1.6029) \approx 0.05448$$ Por tanto, la probabilidad de que menos del 49% se decante por el candidato es de aproximadamente el 5,448%.