Relaciones entre sumas de poderes

Question

Esta pregunta es tan ingenua que podría haberse hecho antes en este sitio. Si es así, lo borraré.

Entre hermosas fórmulas, me gusta mucho esta: $$\left(\sum{n=1}^Nn\right)^2=\sum{n=1}^Nn^3.$$ ¿Existe alguna otra relación algebraica entre los polinomios $P_k$ definidos por $$Pk(N):=\sum{n=1}^Nn^k \qquad?$$ Sospecho que sí, porque $1,P_0,P1,\ldots$ es una base de ${\mathbb Q}[X]$ (pero no una base del $\mathbb Z$-módulo ${\mathbb Z}[X]$), y si uno reemplaza $P{\ell m}$ por $P_\ell P_m$, obtenemos otra base. Pero, ¿hay buenas relaciones?

Answer 1

Una buena referencia es http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/2975368.pdf.bannered.pdf.

Answer 2

La forma correcta de pensar en este tipo de cosas es a través de la caída factorial. Poner $$ n^{\underline k} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$$ Entonces $$ \sum_{n=1}^{N-1} n^{\underline k} = \frac{1}{k+1} N^{\underline{k+1}}$$ y $$ \Delta n^{\underline k} = (n+1)^{\underline k} - n^{\underline k} = k n ^{\underline{k-1}}$$ para $k,N$ razonable. Conociendo el cálculo, estas son las mejores fórmulas agradables.

Answer 3

No estoy totalmente seguro de que esto responda completamente a sus preguntas, pero tales relaciones son conocidas por valores impares de $k$: $$P{2h+1}=\frac{1}{2^{2h+2}(2h+2)} \sum{q=0}^h \binom{2h+2}{2q} (2-2^{2q})~ B_{2q} ~\left[(8P1+1)^{h+1-q}-1\right]$$ donde los $B{2q}$'s son números de Bernoulli (ver la fórmula de Faulhaber en Wikipedia).