Cómo probar $\frac{1-xy}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}}\le\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Question

Pregunta:

que $x,y\in [0,1]$, mostrar que $$\dfrac{1-xy}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}}\le\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ $ gracias (creo que esta desigualdad puede utilizar la interpretación geométrica)

mi idea: $$\Longleftrightarrow 4(1-xy)\le (\sqrt{5}-1)[\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}]$ $

$$\Longleftrightarrow (\sqrt{5}-1)[\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}]+4xy\ge 4$$

entonces no puedo probarlo.

Gracias

Answer 1

La igualdad en se convierte en $\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\geq (1+\sqrt{5})(1-ab)$ a demostrar que $\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}+\sqrt{5}ab\geq \sqrt{1+(1-a-b)^2}$ 1 $\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+ab\geq 1+\sqrt{1+(a+b)^2}$ (2) para probar (1) sólo necesita a escuadra para probar (2), establece: A = $1+\sqrt{1+(a+b)^2}+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}$ B = $\sqrt{1+(a+b)^2}+\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$ tenemos: $1 + \sqrt {1 + (a + b) ^ 2}-\sqrt {1 + a ^ 2}-\sqrt {1 + b ^ 2} =\frac{2ab+2[\sqrt{1+(a+b)^2}-\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}]} {un} =\frac{2ab+\frac{2ab(2-ab)} {B}} {un} \le \frac{2ab+\frac{4ab}{B}}{A}$ por lo que sólo tenemos que demostrar : $\frac{1}{A}\geq\frac{2}{B}+1$ Esto es bien ya $A\geq4$ y $B\geq2$ (1) y (2), se convierten en el inequation: $\sqrt{1+(a+b)^2}+\sqrt{1+(1-a-b)^2} \geq\sqrt{5}$ esto es debido a la desigualdad de minkowski $\sqrt{1+(a+b)^2}+\sqrt{1+(1-a-b)^2} \geq\sqrt{(1+1)^2+(a+b+1-a-b)^2}=\sqrt{5}$