Por favor, ayude a resolver el ejercicio 2 del capítulo 3 de Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry" que dice "Demuestre que los cuaterniones unitarios I, J, K generan un grupo de orden 8 bajo multiplicación. Demuestre que este grupo es isomorfo a $ O (2; \mathbb{Z} ) $ ."
$ O (2; \mathbb{Z} ) $ se da en el libro y tiene 8 matrices:
$ \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $
Claro, los cuaterniones unitarios generan un grupo también de orden 8: $ \{ \pm 1, \pm \mathbf{i}, \pm \mathbf{j}, \pm \mathbf{k} \} $ .
Pero, mirando las reglas de multiplicación $ \mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1 $ y las matrices anteriores, no puedo encontrar una correspondencia con $ O (2; \mathbb{Z} ) $ matrices. Sólo por empezar, debería haber encontrado que al menos tres de ellas al cuadrado eran iguales a menos la identidad y no pude.