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Cómo demostrar que los cuaterniones unitarios son isomorfos a $ O(2;\mathbb{Z})$

Por favor, ayude a resolver el ejercicio 2 del capítulo 3 de Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry" que dice "Demuestre que los cuaterniones unitarios I, J, K generan un grupo de orden 8 bajo multiplicación. Demuestre que este grupo es isomorfo a $ O (2; \mathbb{Z} ) $ ."

$ O (2; \mathbb{Z} ) $ se da en el libro y tiene 8 matrices:

$ \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $

Claro, los cuaterniones unitarios generan un grupo también de orden 8: $ \{ \pm 1, \pm \mathbf{i}, \pm \mathbf{j}, \pm \mathbf{k} \} $ .

Pero, mirando las reglas de multiplicación $ \mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1 $ y las matrices anteriores, no puedo encontrar una correspondencia con $ O (2; \mathbb{Z} ) $ matrices. Sólo por empezar, debería haber encontrado que al menos tres de ellas al cuadrado eran iguales a menos la identidad y no pude.

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Su grupo de 8 matrices permuta los puntos $\{(\pm1,\pm1)\}$ . Porque están en $O_2$ lo hacen de forma isométrica, y además de forma fiel (sólo la matriz identidad fija esos cuatro puntos. Acabamos de construir un isomorfismo de su grupo al grupo diédrico $D_4$ .

Esto no es isomorfo a las unidades $Q_8$ del orden de Lipschitz dentro de $\Bbb{H}$ . Como han observado los comentaristas, este grupo sólo tiene dos elementos de orden cuatro mientras que $Q_8$ tiene seis.

Una representación bidimensional fiel de $Q_8$ requiere entradas complejas. Por ejemplo (hay muchas formas de hacerlo) $$ {\bf i}\mapsto\left(\begin{array}{cccc}i&0\\0&-i\end{array}\right), \qquad {\bf j}\mapsto\left(\begin{array}{cccc}0&1\\-1&0\end{array}\right), \qquad {\bf k}\mapsto\left(\begin{array}{cccc}0&i\\i&0\end{array}\right). $$

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