Ciclos atrayentes o parabólicos que no son puntos fijos

Question

Estoy estudiando el siguiente polinomio complejo $$P(z) = \frac{2z^{4}-2z^{3}+2z^2-z}{2z^{3}-2z^{2}+3z-2}$$ y me gustaría saber, si hay ciclos de atracción o parabólicos para $P(z)$ diferentes de los puntos fijos de atracción $0,1$ y $\infty$ . Mediante cálculos numéricos se puede ver que los puntos críticos se pueden asociar a esos puntos fijos. ¿Significa eso que no hay tales ciclos? ¿O cómo podría encontrarlos?

Además, ¿cómo se podría determinar la naturaleza local cualitativa del punto fijo en el infinito? Por ejemplo con un diagrama de fase local. ¿Cómo puedo dibujar tal cosa en el infinito?

Answer 1

La respuesta directa a tu primera pregunta, tal y como se contestó originalmente en los comentarios es no - cualquier ciclo atractor o parabólico debe contener un punto crítico en su cuenca inmediata. Esto se establece en los teoremas 9.3.1 y 9.3.2 de Iteración de funciones racionales de Beardon.

Su función tiene seis puntos críticos, que se encuentran resolviendo $P'(z)=0$ . Se puede determinar la órbita delantera de estos fácilmente por cálculo directo:

• $ 1 \to 1$ (el punto fijo superatractivo)
• $0.477 \to 0$ (el punto fijo atractivo con multiplicador $1/2$ )
• $ 0.154441 \pm 0.590415 i \to 0$ (el punto fijo atractivo con multiplicador $1/2$ de nuevo)
• $ 0.106856 \pm 1.67351 i \to \infty$ (el punto fijo neutro con multiplicador $1$ )

La imagen dinámica, con los puntos fijos marcados en rojo y los puntos críticos marcados en verde se ve así:

Tu segunda pregunta, formulada originalmente en los comentarios, es "¿cómo determinar la naturaleza local cualitativa del punto fijo en el infinito? ¿cómo puedo dibujar tal cosa en el infinito?" El truco ahí es conjugar la función $P$ por la función recíproca $\varphi(z) = 1/z$ . Es decir, investigamos $$p(z) = 1/P(1/z) = \frac{2 z^4-3 z^3+2 z^2-2 z}{z^3-2 z^2+2 z-2}.$$ Tenga en cuenta que $\varphi$ intercambia el cero y el infinito. Así, donde $\infty$ es un punto fijo de $P$ tenemos que el cero es un punto fijo de $p$ . Además, el cero es un neutro punto fijo de $p$ desde $p'(0)=1$ . Así, decimos que el infinito es un punto fijo neutro de $P$ . También podemos dibujar el conjunto Julia de $p$ para tener algo así como una imagen del conjunto Julia de $P$ cerca del infinito:

Mejor aún, podríamos dibujar la imagen en la esfera de Riemann:

Tenga en cuenta que hay una animación interactiva de mayor calidad con la implementación en este cuaderno de observaciones .