¿Es cierto mi intento de demostrar que la fase de Berry se cuantiza en sistemas de inversión simétrica? ¿Viola la invariancia gauge?

Question

La fase de Berry o Zak viene dada por

\begin{align*} \gamma & =\oint_\mathrm{BZ}d\mathbf{k}\mathcal{\mathcal{\mathcal{A}}}(\mathbf{k})\ \ \mbox{mod }2\pi\\ & =i\oint_\mathrm{BZ}d\mathbf{k}\langle u_{n}(\mathbf{k})|\nabla_{\mathbf{k}}u_{n}(\mathbf{k})\rangle\ \ \mbox{mod }2\pi\\ \end{align*}

que puede tomar cualquier valor entre $[0,2\pi]$ .

Ahora queremos conocer las implicaciones de las simetrías en esta fase de Berry En primer lugar, supongamos que nuestro sistema sólo tiene simetría de inversión, de modo que el hamiltoniano obedece a

$$U_{p}H(\mathbf{k})=H(-\mathbf{k})U_{p}$$

entonces tenemos \begin{align*} U_{p}H(\mathbf{k})U(\mathbf{k}) & =E(\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k})\\ H(-\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k}) & =E(\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k})\\ H(\mathbf{k})U_{p}U(-\mathbf{k}) & =E(-\mathbf{k})U_{p}U(-\mathbf{k}) \end{align*}

tal que $E(k)=E(-k)$ y $U_{p}U(-\mathbf{k})=e^{i\phi(\mathbf{k})}U(\mathbf{k})$ donde $U_{k}$ es la representación vectorial de $|u(k)\rangle$ . Ahora la conexión Berry es

\begin{align*} \mathcal{A}(\mathbf{k}) & =i(U_{p}U(-\mathbf{k})e^{-i\phi(\mathbf{k})})^{\dagger}\nabla_{\mathbf{k}}e^{-i\phi(\mathbf{k})}U_{P}U(-\mathbf{k})\\ & =i(U(-\mathbf{k}))^{\dagger}e^{i\phi(\mathbf{k})}\nabla_{\mathbf{k}}e^{-i\phi(\mathbf{k})}U(-\mathbf{k})\\ & =-\mathcal{A}(-\mathbf{k})+\nabla_{\mathbf{k}}\phi(\mathbf{k}) \end{align*}

y la fase de Berry es para un 1d $\mathrm{BZ}$ para simplificar

\begin{align} \gamma & =\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,\mathcal{A}(k)\\ & =-\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,[\mathcal{A}(-k)+\nabla_{k}\phi(k)]\\ & =\left.\phi(k)\right|_{-\pi}^{\pi}-\underbrace{\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,\mathcal{A}(k)}_{\gamma}\label{eq:-18}\\ & =2\pi n-\gamma\label{eq:-17} \end{align}

por lo que tenemos \begin{align*} \gamma=\pi n \end{align*}

desde $\gamma$ está bien definida sólo hasta $\mbox{mod }2\pi$ puede ser $0$ o $\pi$ cumpliendo la última condición. Mi sospecha surge del último paso. La fase de Berry debería ser independiente de la galga, pero aquí parece que el término de la galga determina su valor.

Answer 1

Su derivación es perfectamente correcta. Por favor, vea Hatsugai (página 16) que realiza esencialmente el mismo cálculo que usted.

Aquí explicaré por qué, sin embargo, la fase Zak es invariante gauge, por lo que es un observable legítimo.

La fase $\phi(\mathbf{k})$ no es una transformación de calibre. Es la fase adicional añadida a los vectores de estado como consecuencia de la aplicación del operador físico de inversión del tiempo (que denotaré por $\mathcal{T}$ para mayor claridad). En un sistema simétrico de inversión de tiempo como el que escribiste:

$$\mathcal{T} | u(\mathbf{k}) \rangle = e^{i\phi(\mathbf{k})} | u(\mathbf{-k}) \rangle $$

La función $ e^{i\phi(\mathbf{k})} $ puede ser cualquier función verdadera en la zona de brillouin que tenga la topología de $S^1$ . Por lo tanto, debemos tener :

$$ e^{i\phi(\pi)} = e^{i\phi(-\pi)} $$ Así, $$ \phi(\mathbf{-\pi}) = \phi(\mathbf{\pi}) + 2 \pi n$$ Esta transformación tiene un número de bobinado $n$ $$\frac{1}{2 \pi}\int e^{-i\phi(\mathbf{k})} d e^{i\phi(\mathbf{k})} = n$$

Por el contrario, como una transformación gauge, $ e^{i\phi(\mathbf{k})}$ es una gran transformación gauge. En la mecánica cuántica, las grandes transformaciones gauge corresponden a estados físicamente diferentes. Este tema fue discutido en el intercambio de pilas de física en el pasado, por favor, vea las siguientes preguntas y respuestas: (1) y (2) .

La razón es que las teorías cuánticas en las que los estados relacionados por una gran transformación gauge son distintos son completamente consistentes. No hay necesidad en la mecánica cuántica de identificar entre estos estados, en contraste con las transformaciones gauge pequeñas que conducen a restricciones de las que debemos deshacernos para cuantificar. En realidad, las transformaciones gauge grandes describen sectores de superselección, que explican una gran variedad de fenómenos. Por ejemplo, en el efecto Aharonov-Bohm, los sectores de superselección corresponden a diferentes valores (no cuantizados) del flujo; y para una partícula que se mueve en un toroide con flujo magnético los sectores de superselección corresponden a diferentes flujos cuantizados. En ambos casos las funciones de onda son las mismas excepto por un factor de fase, sin embargo representan sistemas diferentes.

Por lo tanto, para una transformación gauge debemos seleccionar sólo funciones , $ e^{i\phi(\mathbf{k})}$ que tiene un número de devanado cero, lo que hace que la fase de Zak sea invariante.