Los valores propios son medibles

Question

Considere un $n\times n$ -matriz asimétrica A. Es bien sabido que A tiene n valores propios reales $\lambda _i$ que ordenamos de forma creciente, es decir $\lambda_1\leq\lambda_2\leq...\leq\lambda_n$ . Ahora la afirmación es que el mapeo $ A\mapsto \lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n)$ es medible, pero no veo la forma de demostrarlo.

Answer 1

Hay varios métodos. Aquí hay uno que es sencillo de describir.

Sin pérdida de generalidad, todos los valores propios son estrictamente positivos. Esto se puede garantizar añadiendo $(1+\max_{j} \sum_{i} |a_{ij}| ) I_{n} $ a $A$ una función continua de las entradas.

Esto se debe a que si $\lambda$ es un valor propio y $v$ es un vector propio correspondiente, entonces $\lambda v_i = \sum_j a_{ij} v_j$ . Por lo tanto, $|\lambda| \sum_{i} |v_i| \le \sum_{i,j} |a_{i,j}||v_j| \le (\max_{j} \sum_{i}|a_{i,j}|)\sum_{j} |v_j|$ y $\sum|v_j|>0$ .

A continuación, recordemos que para cualquier $n$ números positivos $r_1,r_2,\dots, r_n$ ,

$$\max_{i} r_i = \lim_{k\to\infty} (\sum_{i\le n} r_i^k)^{1/k}.$$

Por lo tanto, se obtiene inmediatamente $\lambda_n$ tomando el límite

$$ \lim_{k\to\infty} (\mbox{Tr} (A^k))^{1/k}.$$

Esta es claramente una función medible de las entradas: es un límite puntual de funciones continuas de las entradas.

Continúe de forma inductiva, y defina para $1\le j\le n-1$ :

$$\lambda_{n-j-1} = \lim_{k\to\infty} (\mbox{Tr} (A^k)-\lambda_{n-j}^k-\lambda_{n-j+1}^k-\dots -\lambda_n^k)^{1/k}.$$

Hemos terminado. Eso espero.