¿Por qué un espacio con grupos de homotopía finitos [para cada n] tiene grupos de homología finitos? ¿Cómo puedo demostrarlo [no sólo para espacios conexos con grupo fundamental trivial]? Lo contrario es falso. $\mathbb{R}P^2$ es un contraejemplo.
¿Los grupos de homotopía finitamente generados implican grupos de homología finitamente generados? Puedo demostrarlo sólo para espacios conexos con grupo fundamental trivial. Lo contrario es falso. $S^1\vee S^2$ es un contraejemplo.
(Esta respuesta ha sido editada para dar más detalles).
Los grupos de homotopía generados finitamente no implican grupos de homología generados finitamente. Stallings dio un ejemplo de un grupo finitamente presentado $G$ tal que $H_3(G;Z)$ no está generada finitamente. A $K(G,1)$ entonces tiene grupos de homotopía finitamente generados pero no grupos de homología finitamente generados. El artículo de Stallings apareció en Amer. J. Math 83 (1963), 541-543. Nota a pie de página en letra pequeña: El ejemplo de Stallings también puede encontrarse en mi libro de topología algebraica, pp.423-426, como parte de una familia más general de ejemplos debidos a Bestvina y Brady.
Como señaló Stallings, se deduce que cualquier complejo finito $K$ con $\pi_1(K)=G$ tiene $\pi_2(K)$ no generada infinitamente, incluso como módulo sobre $\pi_1(K)$ . Esto contrasta con el ejemplo de $S^1 \vee S^2$ .
Sin embargo, los grupos de homotopía finitos implican grupos de homología finitos. En el caso simplemente conectado, esto es una consecuencia de la teoría mod C de Serre, pero para el caso no conectado no conozco ninguna referencia en la literatura. Pregunté sobre esto en el listserv de topología algebraica de Don Davis en 2001 y obtuve respuestas de Bill Browder y Tom Goodwillie. Aquí está el enlace a sus respuestas:
http://www.lehigh.edu/~dmd1/tg39.txt
El argumento es el siguiente. Primero consideremos el caso especial de que el espacio dado $X$ es $BG$ para un grupo finito $G$ . El modelo estándar para $BG$ tiene un esqueleto finito cuando $G$ es finita, por lo que la homología está finitamente generada. Un argumento de transferencia estándar utilizando la cubierta universal contraíble muestra que la homología es aniquilada por $|G|$ por lo que debe ser finito.
Para un general $X$ con grupos de homotopía finitos se utiliza la fibración $E \to X \to BG$ donde $G=\pi_1(X)$ y $E$ es la cubierta universal de $X$ . La secuencia espectral de Serre para esta fibración tiene $E^2_{pq}=H_p(BG;H_q(E))$ donde los coeficientes pueden estar torcidos, por lo que hay que tener un poco de cuidado. Del caso simplemente conectado sabemos que $H_q(E)$ es finito para $q>0$ . Desde $BG$ tiene esqueleto finito esto implica $E_{pq}^2$ es finito para $q>0$ incluso con coeficientes retorcidos. Para ver esto se puede, por ejemplo, volver a la $E^1$ página donde $E_{pq}^1=C_p(BG;H_q(E))$ el grupo celular en cadena, un grupo abeliano finito cuando $q>0$ lo que implica la finitud de $E_{pq}^2$ para $q>0$ . Cuando $q=0$ tenemos $E_{p0}^2=H_p(BG;Z)$ con coeficientes sin torsión, por lo que ésta es finita para $p>0$ por el caso especial anterior. Ahora tenemos $E_{pq}^2$ finito para $p+q>0$ por lo que lo mismo debe ser cierto para $E^\infty$ y por lo tanto $H_n(X)$ es finito para $n>0$ .
Perdonen la longitud de esta respuesta y las múltiples ediciones, pero me pareció que valía la pena dejar constancia de este argumento.
Parece que puedes demostrar tu primera afirmación para espacios simplemente conectados. En ese caso, puedes utilizar la secuencia espectral de la órbita de homotopía (la secuencia espectral de Serre asociada a la fibración $\tilde X \to X \to BG$ donde $\tilde X$ es la cubierta universal de $X$ y $G = \pi_1(X)$ ). Los únicos términos de la $E^2$ página de la secuencia espectral que tienen la posibilidad de ser no finitas son las $H_i(BG, \mathbb{Z})$ . Pero estos son generado finitamente, y para $i > 0$ racionalmente son cero por un argumento de transferencia. Así que $H_i X$ es finito para $i > 0$ .
Utilizando el mapa de transferencia, la pregunta "¿por qué los grupos de homotopía finitos implican grupos de homología finitos?" puede reducirse al caso simplemente conectado, en el que se aplica la teoría de los grupos mod finitos de Serre.
Recordemos que para un mapa de cobertura de hoja finita $p:\tilde X\to X$ la transferencia de homología $t: H_*(X)\to H_*(\tilde X)$ es el homomorfismo inducido por la asociación a una célula orientada en $X$ la suma de sus (infinitas) elevaciones en $\tilde X$ . Así que la composición $p_* t$ es el auto-mapa de $H_*(X)$ que simplemente multiplica por el orden de la cubierta; este mapa es un isomorfismo cuando usamos coeficientes racionales. Por lo tanto, el traspaso es inyectivo en la homología racional.
En particular, si $X$ es un espacio con grupos de homotopía finitos y algún grupo de homología racional no nulo, entonces lo mismo es cierto para su cobertura universal (finita).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
