Con $n$ Demuestre que existe un polinomio único $p[x] $ tal que $z^*$ , $p(z+1z)=(z^n +1/z^n)$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$(z + 1/z)^n = \displaystyle\Sigma_{k=0}^n \binom{n}{k}z^{n-k}z^{-k} = \Sigma_{k=0}^n \binom{n}{k}z^{n-2k}$
A ver a dónde te lleva la ampliación de lo anterior.
Respuesta detallada En primer lugar, consideremos el caso $n$ incluso: Para $n = 0$ el polinomio es 2. Supongamos que es posible encontrar un polinomio para cualquier número par menor que $n$ . A continuación, amplíe $$(z + 1/z)^n = z^n + nz^{n-2} + ... + nz^{-n + 2} + z^{-n}$$ (verifique esta expansión con la fórmula de expansión del binomio). Así que ahora el problema se reduce a encontrar un polinomio en $z + 1/z$ que es igual a $$-nz^{n-2} + ... - nz^{-n + 2} = -n(z^{n-2} + ... + z^{-n+2})$$ Sabemos que un polinomio $P_{n-2}$ de $z + 1/z$ existe que es igual a $z^{n-2} + z^{-n+2}$ por lo que el polinomio tiene ahora términos $w^n - nP_{n-2}(w)$ . Posteriormente, hacemos lo mismo una y otra vez y, como el exponente del polinomio a encontrar disminuye en dos, el algoritmo termina finalmente en el caso base y -- voilà -- obtenemos nuestro polinomio.
El caso de $n$ impar es similar, sólo que utiliza n = 1 como caso base.
En cuanto a la unicidad, supongamos que tenemos dos polinomios diferentes $P$ y $Q$ en $w$ que satisface $P(z + 1/z) = Q(z + 1/z) = z^n + (1/z)^n$ . Entonces $P - Q$ tendría grado al menos uno o sería una constante. El caso de la constante no podría mantenerse, ya que la constante tendría que ser cero (lo que significa $P = Q$ ). Pero si $P - Q$ tenía un grado $n$ entonces tendríamos un polinomio con un número incontable de ceros (es decir, toda la imagen de $z + 1/z$ ), lo cual es un no-no por el Teorema Fundamental del Álgebra. Así que debe ser que hay un polinomio único que satisface el problema.
