¿Alguien sabe si existe una clasificación de los subgrupos de los números reales tomados bajo la adición? Si no, ¿alguien puede indicarme en la dirección de algún artículo/material que discuta propiedades o hechos interesantes sobre estos subgrupos?
Cada grupo abeliano libre de torsión de cardinalidad a lo sumo $2^\omega$ es isomorfo a un subgrupo de los reales. (Para ver esto, note que dichos grupos pueden ser incrustados en un grupo divisible sin torsión de la misma cardinalidad, es decir, un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$, que a su vez puede ser incrustado en cualquier otro espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ de la misma o mayor dimensión.) Dado que la estructura de los grupos abelianos de rango 2 ya es terriblemente complicada, no encontrarás una clasificación sensata.
Si desea clasificar los subgrupos en el sentido de la medida de Lebesgue, puede encontrar útiles los siguientes hechos.
(1) Cualquier subgrupo propio medible de la recta real tiene medida $0$.
(2) Cualquier subgrupo no medible $G$ de la recta real carga completamente en todas partes, es decir, para cualquier intervalo $I$, $m^{\ast}(G \cap I)=|I|$, donde $m^{\ast}(\cdot)$ denota la medida de Lebesgue exterior.
(3) Existe subgrupo no medible de la recta real.
@Hans, para (1) utilizar el teorema del punto interior de Steinhaus (inmediato); para (2) considerar la "función de distribución" $F(x)=m^*([0,x]\cap G)$; para (3) construir una funcional aditiva no medible cuyo núcleo dé tal grupo. Creo que (1) y (3) deberían estar disponibles en algunos artículos.
Y aunque esto va en otra dirección de complicación sin esperanza, agregar un subgrupo aditivo de rango finito a los números reales con la estructura de campo permite definir los números enteros. Para ver esto, toma el conjunto de reales para los cuales la multiplicación por $r$ es una función de $G \rightarrow G.$ Toma el campo de fracciones de este conjunto. Esta es una extensión de grado finito de $\mathbb{Q}.$ Ahora, los resultados de J. Robinson dan la definibilidad de los números enteros. Entonces, este es otro ejemplo de complicación sin esperanza.
Para cada número real $\alpha$ con $0<\alpha<1$, existe un subgrupo no numerable de $\mathbb{R}$ con dimensión de Hausdorff $\alpha$: ver por ejemplo https://perswww.kuleuven.be/~u0018768/artikels/actions-free-group.pdf
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