El valor de $\sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+\cdots\sqrt{1-\sqrt{1+1}}}}}}$ ?

Question

Cómo encontrar el valor de $\sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+\cdots\sqrt{1-\sqrt{1+1}}}}}}$ ?
Lo he calculado por MATLAB para algunos términos finitos y he obtenido : $0.3001 - 0.4201i$ pero no sé cómo encontrar el valor analíticamente. ¿Te importaría ayudarme a encontrarlo? Gracias

Answer 1

La iteración de la función $f(x) = \sqrt{1-\sqrt{1+x}}$ a partir de $x=1$ se acerca a un ciclo de 2 de $.2229859448+.4133637969 i$ y $.2229859448-.4133637969 i$ .

Answer 2

En primer lugar, supongamos que la serie es convergente. Buscando puntos fijos tenemos:

$$x=\sqrt{1-\sqrt{1+x}}$$

Ahora intentaremos resolver esta ecuación. Primero elevando al cuadrado ambos lados:

$$1-x^2=\sqrt{1+x} \\ \left(\left( 1-x\right)\left( 1+x\right) \right)^2=1+x$$

Tenga en cuenta que $x$ debe ser no negativo, por lo tanto:

$$(1-x)^2(1+x)-1=0 \\ \Rightarrow x^3-x^2-x=0$$

Así que $x=0$ es una solución. Las otras soluciones son:

$$x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

donde sólo $x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ es mayor o igual a cero y puede parecer válido. Pero, como se ha señalado, hay que comprobar si las respuestas encajan realmente en la ecuación inicial. En este caso $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no lo hace, por lo tanto el único punto fijo que hemos encontrado es $x=0$ .

Pero $x=0$ no puede ser el límite de convergencia (no converge suavemente). Supongamos que desviamos $x=0$ con la pequeña cantidad de $\epsilon$ (o más bien empezando con un pequeño $x_1=\epsilon$ ). Poniéndolo de nuevo en nuestras ecuaciones iniciales y obteniendo el siguiente $x$ :

$$x_2=\sqrt{1-\sqrt{1+\epsilon}}\approx \sqrt{1-\left( 1+\frac{\epsilon}{2}\right)} \approx \frac{i\sqrt{\epsilon}}{\sqrt{2}}$$

Ahora para $\epsilon < \frac{1}{2}$ , $|x_2|>|x_1|$ ; ergo $x=0$ no puede ser el límite de convergencia. Hemos demostrado que esta infinidad de radicales no tiene un solo límite.

Answer 3

Este $cannot$ tienen una raíz real positiva, porque, si $x$ es una raíz de este tipo, entonces $\sqrt{1+x} > 1$ así que $1-\sqrt{1+x} < 0$ , lo que significa que $\sqrt{1-\sqrt{1+x}}$ es complejo, no real.

En otras palabras, encontrar un punto fijo no funciona - hay $no$ punto fijo.

Lo mejor que se puede hacer es encontrar un ciclo de dos como ha hecho GEdgar. Esto implica resolver $x = f(f(x))$ , que es mucho más complicado.

Por lo tanto, el trabajo de Ali, que he duplicado, es erróneo. Resuelve $f(x) = x$ , pero $f$ no tiene un límite, tiene dos ciclos.

Answer 4

Esta pregunta ya fue contestada y se aceptó una respuesta. Esta respuesta es sólo para completarla para algún lector posterior.

Si se observa la función $f(x) = \sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+x}}}}$ entonces este tiene puntos fijos verdaderos; los puntos fijos son $\small t_0 = 0$ , $ \small t_1 \approx 0.222985944830 + 0.413363796251 i$ y $ \small t_2 \approx 0.222985944830 - 0.413363796251 i$ .

Alrededor del punto fijo $t_0$ obtenemos una serie de potencias reales con un cofactor fraccionario pero sin término constante debido a wolframalpha, ver mi pregunta relacionada .

Desarrollando alrededor de los puntos de fijación complejos, digamos $t_1$ obtenemos una serie de potencias habitual (aunque con coeficientes complejos), $ \small f_4(x+t_1)-t_1 = g(x) \approx 0.219471696356 x + $ $ \small (-0.102599142965 + 0.177579081091 i) x^2 + $ $ \small(-0.133743852861 - 0.220457785139 i) x^3 $ $ \small+ (0.375580757794 - 0.0217915275445 i) x^4 + O(x^5) $ donde el valor absoluto del coeficiente del término lineal es menor que 1 - lo que significa que este punto fijo $t_1$ también atrae.

Así, la iteración infinita de $f(x)$ a partir de cualquier valor complejo (excepto 0 ) convergerá a ese punto fijo $t_1$ . Esto resuelve el primer problema: la notación de OP es convergente en absoluto.

Después de esto, podemos afirmar simplemente que cualquier truncamiento finito de la expresión de la OP se aproxima a uno de los puntos fijos del ciclo:

t1=0.222985944830 + 0.413363796251*I
x0=sqrt(1+t1)     :    %2164 = 1.1211469 + 0.18434863*I
x0=sqrt(1-x0)     :    %2165 = 0.22298594 - 0.41336380*I
x0=sqrt(1+x0)     :    %2166 = 1.1211469 - 0.18434863*I
x0=sqrt(1-x0)     :    %2167 = 0.22298594 + 0.41336380*I  \\ cycling occurs, approxi-
x0=sqrt(1+x0)     :    %2168 = 1.1211469 + 0.18434863*I   \\ mating the four-point
x0= ...           :     ...  =  ...                       \\  cycle