Fundamentos de los fractales

Question

Soy programador de profesión y estoy muy interesado en los fractales.

Para ser muy básico sobre el concepto, se podría decir que un "círculo de círculos" es un fractal. Cada círculo está formado por círculos, y esos círculos están formados por círculos más pequeños, y así sucesivamente.

Esta idea es similar a un triángulo de Sierpinski, que yo interpreto básicamente como un triángulo de triángulos.

Para comprobar mi comprensión, decidí dibujar esta noción de "círculo de círculos". Date cuenta de que lo hice a mano con MS paint, copiando y pegando. Realmente debería haber escrito un programa sencillo utilizando alguna derivada de pi para obtener una visualización matemática perfecta.

En cualquier caso, esta imagen es sólo para ilustrar el concepto.

Obviamente no es perfecto, mi pregunta es: ¿la noción de "círculo de círculos", "triángulo de triángulos" o "función de funciones" es realmente la definición de un fractal? Y, en consecuencia, ¿es la aplicación de esta noción, en esta imagen, un fractal? (Me doy cuenta de que no lo es porque la alineación es incorrecta).

Nota: La coloración era sólo para que pudiera ver el patrón más fácil, vamos a suponer que no hay color. Aunque si el color se hubiera repetido también, ¿seguiría siendo cierto?

Incluí otra, ampliando el uso del color:

Answer 1

Un fractal es una simple regla que se repite una y otra vez. Tendrías razón al decir que a veces es recursivo, pero no siempre se genera recursivamente, de hecho muchos fractales serían imposibles de generar con una "semilla" recursiva por así decirlo.

Conjunto de Mandelbrot

Por ejemplo, aquí está el conjunto de Mandelbrot:

Puedes generar esta imagen haciendo una cuadrícula en tu ordenador para representar el plano complejo, y asignando un único número complejo a cada celda de la cuadrícula (por ejemplo, el origen sería 0+0i y el punto más a la derecha sería 1+0i).

Después de esto, sólo hay que ejecutar esta simple función matemática, digamos, 50 veces (elección arbitraria):

$$z_{n+1} = z_n^2 + c $$

Donde c es una constante de su elección. Si después de estas 50 iteraciones, el número que has generado es mayor que 2; has "divergido", así que coloreas ese píxel de blanco. Si no, has convergido, y coloreas ese píxel en blanco. *Quieres $|c| < 1$ por esa razón.

Se puede generar un conjunto de mandelbrot coloreado coloreando el píxel en función de la magnitud después de 50 iteraciones.

Su Fractal

Tu fractal es ciertamente un fractal si continúas iterándolo. De hecho, para hacer este fractal, sólo tendrías una función que repetirás una y otra vez, sin embargo, la forma en que generas el fractal puede ser diferente. Por lo tanto, yo diría que una buena definición para un fractal es simplemente un objeto que muestra una similitud propia a diferentes escalas, o un objeto que se produce por aplicaciones repetidas de una regla simple (que es exactamente lo que has hecho).

Esto hace que los fractales salgan del ámbito de los gráficos y del mundo físico para entrar en otras áreas en las que algún día puedan encontrar una aplicación :)

Espero que eso ayude.