¿Por qué la línea real no se utiliza en la teoría determinada descriptiva?

Question

En la mayoría de los libros de teoría determinada descriptiva, el fundamento para trabajar con el espacio de Baire ($\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$) en contraposición a la línea verdadera ($\mathbb{R}$) es que la conexión de las causas de este último 'dificultades técnicas'.

Mi pregunta es, ¿cuáles son estas dificultades técnicas, y ¿por qué se teoría determinada descriptiva (normalmente?) pega a cero-dimensional espacios polacos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay varias propiedades útiles de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$:

• $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ es homeomórficos a $\mathbb{N}^\mathbb{N}\times\mathbb{N}^\mathbb{N}$. Por lo que podemos ver cada elemento de a $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ como un código para un par de elementos, y la decodificación de los mapas son continuas. Este no es el caso de $\mathbb{R}$.
• $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ no está conectado. Debido a $\mathbb{R}$ está conectado, no hay no constante funciones continuas de$\mathbb{R}$$\{0,1\}$; usted tiene que subir un par de niveles en el Borel jerarquía para obtener este tipo de funciones. Esto no importa si usted acaba de atención acerca de las funciones que se está Borel, pero cuando usted está buscando en los niveles efectivos de la Borel jerarquía es más conveniente para iniciar con funciones continuas en lugar de partir de un poco más arriba.
• Es fácil crear un elemento de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$: usted sólo tiene que generar una secuencia de números naturales. Por otro lado, las representaciones de los números reales (secuencias de Cauchy, Dedekind cortes) no son tan fáciles de trabajar. Que hace pruebas técnicamente más difícil sin hacer de ellos más interesante. Por ejemplo, comparar la diagonalización prueba de que $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ es incontable con la diagonalización prueba de que $\mathbb{R}$ es incontable.

También hay un par de razones por las que el uso de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ no se traduce en una pérdida de generalidad:

• Para cualquier innumerables completa separable espacio métrico (c.s.m.s.) $X$, hay un bijection entre el $X$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ que es Borel medible y tiene una Borel medible inversa. Así que si la propiedad que estamos estudiando es preservada por Borel isomorphisms, se puede sustituir un incontable c.s.m.s. $X$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ .

• Cada c.s.m.s. es una imagen continua de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$. De hecho, para cualquier c.s.m.s. $X$ no es un subconjunto cerrado $C$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ y un continuo bijection de$C$$X$. Así que si estamos estudiando una propiedad conservada por la continua mapas, podemos trabajar con $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ o con sus subespacios cerrados sin perder generalidad.

Los tipos de razones ¿por qué es seguro para seguir con $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ más de la época: el objetivo es el estudio de un arbitrarias c.s.m.s. (incluyendo $\mathbb{R}$), pero la mayoría de los casos no hay pérdida de generalidad en el estudio de la $\mathbb{N}^\mathbb{N}$.