Estoy confundido sobre el pista Spivak añade al problema 1-2 en su Calculus on Manifolds:
¿Cuándo se cumple la igualdad en el Teorema 1-1(3)? Una pista: Vuelve a examinar la prueba; la respuesta no es "cuando $x$ y $y$ son linealmente dependientes".
La citada (in)igualdad aquí sería: $$ \left \lvert x + y \right \rvert \leq \left \lvert x \right \rvert + \left \lvert y \right \rvert $$
Mi pregunta: ¿Por qué es $x$ y $y$ ¿el ser lineal no es la condición para la igualdad?
Si se eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene para el LHS: $$ \left \lvert x + y \right \rvert^2 = \left \lvert x \right \rvert^2 + \left \lvert y \right \rvert^2 + 2\sum^n_{i=1} x_i y_i \text{,} $$ y para el RHS $$ \left( \left\lvert x \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert \right)^2 = \left \lvert x \right \rvert^2 + \left \lvert y \right \rvert^2 + 2 \left\lvert x \right\rvert \cdot \left\lvert y \right\rvert\text{.} $$
Claramente, el LHS y el RHS son iguales si: $$ \sum^n_{i=1} x_i y_i = \left\lvert x \right\rvert \cdot \left\lvert y \right\rvert \text{,} $$
que es el caso si $x$ y $y$ son linealmente dependientes (según el Teorema 1-1(2)). ¿Qué me falta? ¿Por qué la respuesta no es "cuando $x$ y $y$ son linealmente dependientes"? ¿Qué otra condición hay?
