Razonar por qué la serie de Taylor converge a $\operatorname{Si}$

Question

Dejemos que $\operatorname{Si}: \mathbb R \to \mathbb R, \operatorname{Si}(x) := \int^x_0 \frac{\sin t} t \, dt$

Problema encontrar la serie de Taylor de $\operatorname{Si}$ sobre $0$ . Y demostrar que $\forall x \in \mathbb R$ la serie de Taylor converge a $\operatorname{Si}$

Medidas adoptadas :

La serie Taylor es $\sum^\infty_{k=0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}$ y he demostrado que la serie converge a través de la prueba de la proporción, PERO ¿cómo demuestro que converge a $\operatorname{Si}(x)$ ?

Además estoy confundido con las series de Taylor, me han dicho que sólo puedo multiplicar dos series de Taylor si están centradas en el mismo punto (es decir, en $0$ ) para tratarla como una serie de taylor. Sin embargo, ¿por qué soy capaz de multiplicar la serie de Taylor conocida de $\sin t $ sobre $0$ por la serie Taylor de $\frac{1}{t}$ sobre $0$ que ni siquiera existe. Entonces, ¿cómo puedo tratar $\sin(t)\frac{1}{t}$ como una serie de Taylor sobre $0$ ?

Se agradecería que se aclararan ambos temas.

Answer 1

Superficialmente, esto no parece implicar variables complejas, y por lo que sé, tal vez haya pruebas rutinarias que impliquen sólo variables reales. Sin embargo, las respuestas que conozco a estas preguntas son sólo las que aprendí estudiando variables complejas. Con variables reales, puedes tener una función $f$ que tiene derivadas de todos los órdenes en cada punto, y sin embargo la serie de Taylor $$ \sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(c) (x-c)^n $$ converge a $f(x)$ sólo cuando $x=c.$ Dicha función no puede extenderse a una función diferenciable de una variable compleja en una vecindad abierta de $c.$

Sin embargo, con variables complejas, si una función $f$ tiene una primera derivada en cada punto de alguna vecindad abierta de $c,$ entonces tiene derivadas de todos los órdenes en cada punto de esa vecindad abierta de $c,$ y la serie de potencias anterior converge a $f(x)$ por cada $x$ dentro del disco de convergencia, y el radio de convergencia es al menos tan grande como el radio del disco más grande centrado en $c$ que es un subconjunto de la mencionada vecindad abierta. Véase este artículo .

Dado que la serie de Taylor de potencia de $t\mapsto1/t$ centrado en $t=0$ no existe, la cuestión de multiplicar dichas series no se plantea en este caso. Nótese que $$ \frac{\sin t} t = \frac{t - \frac{t^3}6 + \frac{t^5}{120} - \cdots} t = 1 - \frac{t^2} 6 + \frac{t^4}{120} - \cdots. $$ La prueba de la relación muestra que esta serie tiene un radio de convergencia infinito. Otro hecho de las variables complejas es que implica que converge puntualmente a una función que es diferenciable en cada valor complejo de $t,$ y la derivada se puede tomar término a término. Claramente a lo que converge es $(\sin t)/t$ si $t\ne 0,$ pero se define en $t=0.$

La derivada de su función $\operatorname{Si}$ es la función definida por esta serie de potencias. Las series de potencias también pueden antidiferenciarse término a término dentro de su región de convergencia.

Answer 2

Se sabe que por cada $t \in \mathbb{R}$

$$\sin t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot t^{2n+1}.$$

Dividiendo ambos lados por $t$ obtenemos que para $t \neq 0$

$$\frac{\sin t}{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot t^{2n}.$$

La igualdad también es válida para $t = 0$ si suponemos (por la convención común) que $\frac{\sin t}{t} = 1$ para $t = 0$ .

Es fácil comprobar que la serie anterior converge uniformemente en $[0, x]$ por cada $x > 0$ (y en $[x, 0]$ por cada $x < 0$ ), por lo que

$$\int \limits_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{d} \, t = \sum_{n=0}^{\infty} \int \limits_0^x \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot t^{2n} \mathrm{d} \, t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1) \cdot (2n+1)!} \cdot x^{2n+1}$$

y eso es todo.