Teorema de Noether y simetrías lagrangianas

Question

Si hago la transformación

$$x_i \rightarrow x_i' = x_i + \delta x_i,$$

Encuentro que el Lagrangiano $L = L(x_i,\dot{x_i})$ se transforma en

$$L \rightarrow L' = L + \frac{\partial L}{\partial x_i} \delta x_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \delta \dot{x}_i \\ = L + \frac{\partial L}{\partial x_i} \delta x_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{d}{dt}\delta x_i \\ =L + \frac{\partial L}{\partial x_i} \delta x_i + \frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \delta x_i\bigg) - \bigg(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\bigg) \delta x_i \\ = L + \frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \delta x_i \bigg).$$

Para una simetría, exigimos $L'=L$ , lo que significa que

$$\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \delta x_i \bigg) = 0. \quad (\mathrm{1})$$

Esto es simplemente el teorema de Noether. Sin embargo, también he leído en Goldstein, y en otros textos de mecánica clásica, que si transformamos la lagrangiana de tal manera que cambie como

$$L \rightarrow L' = L + \frac{d}{dt} F(x) \quad (\mathrm{2}),$$

$L'$ sigue extremando la acción por el mismo camino. Por lo tanto, seguramente para la simetría no tengo que exigir la condición dada en $(\mathrm{1})$ porque es una derivada temporal total como $(\mathrm{2})$ . ¿Es el teorema de Noether demasiado restrictivo con respecto a las transformaciones lagrangianas? ¿Puedo derivar cantidades conservadas incluso si permito que la lagrangiana cambie por una derivada temporal total?

Answer 1

Creo que el problema de tu afirmación es la definición de simetría.Si consideras la familia de trasformaciones $$x'_i \rightarrow x_i + \epsilon K_i(\vec{x},\dot{\vec{x}})$$ Entonces puedes exigir por simetría que: $$\dfrac{dL'}{d\epsilon}\Bigr|_{\epsilon=0}=0$$ De modo que una simetría del Langrangiano es una transformación que lo deja inalterado en primer orden con respecto a $\epsilon$ Se puede derivar la cantidad conservada como sigue del teorema de Taylors: $$L'(x_i',\dot{x_i'})=L'(x_i+\epsilon K,\dot{x_i}+\epsilon \dot{K})=L(x_i,\dot{x_i}) +\dfrac{\partial L}{\partial x_i}\epsilon K_i +\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\epsilon \dot{K_i}+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$ A partir de ahí aplicando la condición de la simetría y utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtiene el resultado deseado: $$\dfrac{\partial L}{\partial x_i}K_i +\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \dot{K_i} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\right) K_i + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \dot{K_i} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} K_i\right)=0$$

Answer 2

Combinando su cálculo de $L'-L$ con la afirmación th en la Ec. (2), la cantidad conservada es $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta x_i-F\left( x\right)$ . De la misma manera, $F$ debe restarse en general de la carga conservada obtenida en la respuesta de SpecialM.

Answer 3

Una simetría de una lagrangiana se define como una transformación que deja la lagrangiana sin cambios hasta una derivada temporal total. Por tanto, no tiene sentido añadir la condición (1), ya que al añadir una derivada temporal total a la lagrangiana se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento.

Por lo tanto, el teorema de Noether sigue siendo válido aunque la lagrangiana cambie por una derivada temporal total.