Calcular el flujo del campo vectorial

Question

El campo vectorial es este $F(x,y,z)=\left\langle z^2-y^2e^z,z\ln(1-2x^2),3\right\rangle$ . S es una porción del gráfico $z=5-x^2-y^2$ que se sitúa por encima del plano $z=0$ y la orientación hacia arriba. Calcule el flujo de $F$ a través de $S$ (es decir, $\iint_SF\cdot\,dS$ )

Tengo $\nabla \circ F=0$ ¿Qué debo hacer a partir de ahora?

Answer 1

La divergencia debería ser efectivamente $0$ desde:

\begin{align} &\frac{\partial}{\partial x}(z^2 - y^2) =0 \\ &\frac{\partial}{\partial y}(z\ln(1 - 2x^2) = 0 \\ &\frac{\partial}{\partial z}3 = 0 \\ \end{align}

Esto significa que $\oint_{\partial V} \vec{F}\circ d\vec{A} = \int_V \nabla \circ \vec{F} dV = 0$ .

Podemos dividir la integral que quieras en dos partes, la que quieras ( $\partial V_1$ ) y luego el $z = 0$ plano ( $\partial V_2$ ):

$$ \oint_{\partial V} \vec{F}\circ d\vec{A} = \int_{\partial V_1} \vec{F}\circ d\vec{A} + \int_{\partial V_2} \vec{F}\circ d\vec{A} = 0 $$

La segunda integral ( $\partial V_2$ El $z = 0$ parte plana), podemos tomar fácilmente:

$$ \int_{\partial V_2} \vec{F}\circ d\vec{A} = \int_{\partial V_2} \vec{F}\circ (-\hat{z})dA = -\int_{\partial V_2} \vec{F}\circ \hat{z}dA $$

Pero $\vec{F}\circ \hat{z} = 3$ Así pues, tenemos:

$$ -\int_{\partial V_2} \vec{F}\circ \hat{z}dA = -3\int_{\partial V} dA $$

Pero sabemos que es el área del círculo de radio $\sqrt{5}$ Así que $\int_{\partial V} dA = 5\pi$ . Por fin lo tenemos:

\begin{align} \oint_{\partial V} \vec{F}\circ d\vec{A} =& \int_{\partial V_1} \vec{F}\circ d\vec{A} + \int_{\partial V_2} \vec{F}\circ d\vec{A} = 0\\ =&\ \int_{\partial V_1} \vec{F}\circ d\vec{A} -3(5\pi) = 0 \end{align}

$$ \int_{\partial V_1} \vec{F}\circ d\vec{A} = 15\pi $$