Estoy tratando de resolver este problema, pero al final me encuentro con que algo está mal en mi trabajo. Este es el problema:
Nos dan las bases: $$ \beta = \bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg\} \\ \gamma = \text{Canonical for }\mathbb{R}^4 $$
Nos dan la transformación de los vectores de la base a la imagen: $$ T((1,1)) = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \\ T((1,-1)) = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix} $$
Y se les pidió que lo hicieran:
- Encuentre $[T]_\beta^\gamma$
- Si $x = (5,1)$ , encontrar $[x]_\beta$
- Determinar $[T(x)]_\gamma$
- Encuentre $T(x)$
La primera parte creo que es sencilla, ya que basta con encontrar la transformación de la base para $\beta$ pero ya está dado, y como $\gamma$ es la canónica, las transformaciones deben ser $[T]_\beta^\gamma$ .
La segunda parte es la aplicación de la definición, por lo que encontramos que $(5,1)$ puede representarse mediante el vector de coordenadas $(3,2)$ .
Entonces, para el número tres, utilizamos el teorema que dice que $[T(x)]_\gamma = [T]_\beta^\gamma[x]_\beta$ . Es decir $(3,2,-2,3)$ .
Por último, utilizamos el vector de coordenadas y usamos las entradas como coeficientes para $\gamma$ para encontrar $T(x)$ . Esto es $(3,2,-2,3)$ , ya que $\gamma$ es la base canónica.
El problema es que si intento multiplicar $[T]_\beta^\gamma$ por los vectores de $\beta$ No obtengo la transformación que espero, de acuerdo con lo que se da. ¿Qué estoy haciendo mal?
