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Dejemos que $\det (A + \alpha I) = 0$ para todos $\alpha \in \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ . ¿Podemos decir que $\det (A) \ne 0$ ?

Dejemos que $A \in {M_n}$ y $\det (A + \alpha I) = 0$ para todos $\alpha \in \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ .

¿Podemos decir que $\det (A) \ne 0$ ?

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user Puntos 2963

Claro, porque es una verdad vacía. No hay ninguna matriz en $M_n$ para lo cual $\det(A + \alpha I) = 0$ durante más de $n$ valores de $\alpha$ y mucho menos infinitamente. En particular, si $\alpha$ es "grande" (digamos, $n^{100}$ veces mayor en valor absoluto que cualquier entrada de $A$ ), entonces $A + \alpha I$ es invertible.

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