Un álgebra abierta para una colección de restricciones de primera clase, $G_a$ , $a=1,\cdots, r$ está dada por el corchete de Poisson $\{ G_a, G_b \} = {f_{ab}}^c[\phi] G_c$ clásicamente, donde las constantes de estructura son funciones de los grados de libertad dinámicos, $\phi$ . Cuando se cuantifica una teoría gauge, un estado físico $|\psi\rangle$ tiene que satisfacer las restricciones de primera clase $\widehat{G}_a |\psi\rangle = 0$ . A partir de esto, se puede ver fácilmente $[\widehat{G}_a, \widehat{G}_b]|\psi\rangle = 0$ . En la versión cuántica de la teoría, la ecuación de Poisson tiene que ser sustituida por una ecuación de conmutación de operadores. En general, ${\widehat{f}_{ab}^c}[\widehat{\phi}]$ no viaja con $\widehat{G}_c$ . Una posibilidad es que el lado derecho de la ecuación del conmutador de dos restricciones esté ordenado de forma que la restricción $\widehat{G}_c$ está siempre a la derecha en el producto del operador. Sin embargo, el producto resultante será no hermitiano en general debido a la no conmutatividad. El conmutador de dos operadores hermitianos es siempre antihermitiano. Por lo tanto, esto significa que los operadores de restricción de primera clase tienen que ser no hermitianos. Si queremos que los operadores de restricción sean hermitianos, necesitamos $[\widehat{G}_a, \widehat{G}_b] = i O(\widehat{f}_{ab}{}^c[\widehat{\phi}]\widehat{G}_c)$ donde $O$ es alguna forma de ordenación de los operadores. Sin embargo, este ordenamiento de operadores contendrá en general algunos términos que no se aniquilan $|\psi\rangle$ en general porque $\widehat{G}_c$ no siempre estará a la derecha. ¿Cómo se puede evitar esto?
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I) Reformulemos la pregunta de la OP(v1) como
¿Cómo puede hermiticidad $^1$ se mantenga para el álgebra gauge $$\tag{1} [\hat{G}_a , \hat{G}_b ] ~=~ i\hbar~\hat{G}_c ~\hat{f}^{c}{}_{ab} $$ de las restricciones de los operadores de primera clase $\hat{G}_a$ si los operadores de la estructura $^2$
$$\tag{2} \hat{f}^{c}{}_{ab}~=~f^{c}{}_{ab}(\hat{q}^i,\hat{p}_j)$$ dependen de los operadores del espacio de fase $\hat{q}^i$ y $\hat{p}_j$ ?
(Obsérvese que en el eje vertical de la ec.(1), dejamos que el operador $\hat{G}_c$ se sitúan a la izquierda del operador $\hat{f}^{c}{}_{ab}$ . Esto se hace por razones puramente convencionales para seguir a la Ref. 1. Este reordenamiento sólo significa que debemos trabajar con sujetadores físicos $\langle \psi |$ en lugar de los kets físicos $|\psi \rangle$ que es una formulación equivalente).
II) Nuestro primer punto es que la identidad del operador del álgebra gauge (1) es sólo la primera de una torre (posiblemente infinita) de relaciones de consistencia de operadores. Por ejemplo, los operadores estructurales (2) deberían satisfacer una identidad de operador tipo Jacobi, que a su vez implica un nuevo conjunto de operadores estructurales superiores, y así sucesivamente.
Resulta que el enfoque más sistemático es refundir la simetría gauge (1) en el formalismo Batalin-Fradkin-Vilkovisky (BFV), que es una generalización del Hamiltoniano Método BRST de la teoría de Yang-Mills a la primera clase arbitraria $^3$ (1), incluso los llamados reducible álgebras gauge.
El objeto principal de la teoría BFV es un operador de carga fermiónico BRST $^4$
$$\tag{3} \hat{Q} ~=~ \hat{G}_a ~\hat{\cal C}^a +\frac{1}{2}\hat{\bar{\cal P}}^c~\hat{f}^{c}{}_{ab}~\hat{\cal C}^b\hat{\cal C}^a +\ldots $$
que se eleva al cuadrado a cero
$$\tag{4} \hat{Q}^2~=~0. $$
En aras de la brevedad, obviamente tendríamos que omitir muchos detalles aquí, pero mencionemos que $\hat{\cal C}$ y $\hat{\bar{\cal P}}$ son los fantasmas y los momentos fantasmas, que llevan el número fantasma $+1$ y $-1$ respectivamente. El operador de carga BRST $\hat{Q}$ es necesario tener el número de fantasma $+1$ . El álgebra gauge (1) se codifica como una de las primeras relaciones de operadores en una torre (posiblemente infinita) de relaciones de operadores que se ocultan dentro de la condición de nilpotencia (4).
El resultado es que el unitaridad de la teoría se implementa esencialmente (entre otras condiciones) exigiendo la hermiticidad de la carga de BRST
$$\tag{5} \hat{Q}^{\dagger}~=~ \hat{Q}. $$
La ecuación (5) dicta en gran medida el tipo de estructura de hermiticidad/realidad que se debe imponer al sistema. En general, estas condiciones de Hermiticidad/estructura de la realidad se interrelacionarán entre las restricciones del operador de primera clase $\hat{G}_a$ los operadores de estructura (2), los operadores de estructura superior, etc., cf. Ref. 1.
Referencias:
- I.A. Batalin y E.S. Fradkin, Cuantificación operatoria de sistemas dinámicos sujetos a restricciones. Un estudio adicional de la construcción, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 49 (1988) 145. Los archivos pdf y djvu están disponibles aquí .
$^1$ Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta.
$^2$ Una observación lateral semántica: La noción de Abrir El álgebra gauge es tradicionalmente una noción en el formalismo lagrangiano, en el que el álgebra gauge se rompe fuera de la cáscara. En general, es menos sencillo identificar en el lenguaje hamiltoniano, si un sistema gauge (1) corresponde a un álgebra gauge abierta en el formalismo lagrangiano, o si no lo hace.
$^3$ El formalismo BFV se ha desarrollado desde entonces para tratar las restricciones de segunda clase.
$^4$ Ampliaciones de $\hat{Q}$ con otros ordenamientos de operadores (ordenamiento de Weyl, ordenamiento de Wick, etc.) en el sector fantasma son posibles, véase, por ejemplo, la sección 6 de la Ref. 1 para más detalles. El operador de carga BRST $\hat{Q}$ puede, en principio, depender de $\hbar$ .
La respuesta correcta hace uso de BRST. En resumen, $\widehat{G}_a$ es no hermitiana en general. Me explico. En BRST, aumentamos los campos gauge y de materia con campos fantasma $\widehat{c}^a$ , $\widehat{b}_b$ que satisfacen las relaciones canónicas de anticonmutación $\{\widehat{c}^a, \widehat{c}^b\} = \{\widehat{b}_c, \widehat{b}_d\} = 0$ y $\{ \widehat{c}^a, \widehat{b}_b\}=\delta^a_b$ . Además, exigimos que ambos campos fantasma sean herméticos. Esto significa que el sector fantasma tiene que tener una norma indefinida. Definamos el operador de número fantasma total como $\widehat{N}_{gh}\equiv \widehat{c}^a\widehat{b}_a$ . Existe un operador fermiónico $\widehat{\Omega}$ con el número fantasma $+1$ es hermético y es cuadráticamente nilpotente $\widehat{\Omega}^2=0$ .
Ampliar $\widehat\Omega$ como $$\widehat{\Omega} = \widehat{c}^a \widehat{G}_a + \frac{1}{2!}\widehat{c}^a\widehat{c}^b \widehat{b}_c \widehat{f}_{ab}{}^c + \frac{1}{3!2!}\widehat{c}^a\widehat{c}^b\widehat{c}^c\widehat{b}_d\widehat{b}_e\widehat{f}_{abc}{}^{de} + \dots$$ donde el $\widehat{G}, \widehat{f}$ no contienen factores fantasma. Es importante observar que $\left(\widehat{c}^a\widehat{c}^b\widehat{b}_c\right)^\dagger = -\widehat{c}^a\widehat{c}^b\widehat{b}_c -\delta^a_c\widehat{c}^b +\delta^b_c\widehat{c}_a$ . Por lo tanto, la condición $\widehat{\Omega}^\dagger = \widehat{\Omega}$ se traduce en un número infinito de relaciones que comienzan con $$\widehat{G}_a=\widehat {G}_a^\dagger-\frac{1}{2}\widehat{f}_{ba}{}^{b}{}^\dagger+\frac{1}{2}\widehat{f}_{ab}{}^{b}{}^\dagger+\dots\,.$$ En fin, ya ves las limitaciones $\widehat{G}_a$ ya no son herméticos en general.
Un estado físico satisface $\widehat{\Omega}|\psi\rangle=0$ . Si este estado tiene un número fantasma cero, esto se reduce a la restricción de primera clase $\widehat{G}_a|\psi\rangle =0$ .
Es interesante observar el caso especial de la gravedad cuántica en el formalismo ADM. Allí tenemos restricciones hamiltonianas y restricciones de difeomorfismo, y forman un álgebra abierta. Si definimos el hamiltoniano extendido como $\widehat{H}^* = \int d^3x\,\{\widehat{b}(x),\widehat{\Omega}\}$ donde $\widehat{b}(x)$ es el operador fantasma asociado a los difeomorfismos temporales en el punto espacial $x$ entonces el operador hamiltoniano ampliado es no hermitiano. Sustituyéndolo por $\int d^3x\,\{\widehat{ N}(x)\widehat{b}(x),\widehat{\Omega}\}$ donde $\widehat{N}(x)$ es algún operador de campo de lapsos de fijación de galgas no cambia este hecho en absoluto.
Las respuestas dadas se reducen básicamente a dejar de lado la condición de Hermiticidad para $\hat{G}_a$ . BIEN. Digamos que, clásicamente, el paréntesis de Poisson va como $\{G_a,G_b\}=f_{ab}{}^c G_c$ y después de la cuantificación, requerimos que esto se traduzca en $\left[ \hat{G}_a, \hat{G}_b\right]=i\hat{f}_{ab}{}^c \hat{G}_c$ con el producto del operador en el lado derecho tomado precisamente en este orden. La dificultad estriba en que sólo pueden elegirse opciones muy particulares para el ordenamiento del producto del operador para $\hat{G}_a$ puede conducir a esta forma de ordenación de los operadores en el lado derecho. Para ser más exactos, tal vez no deberíamos pensar en ello como una prescripción de productos de ordenación, sino como una elección particular de $\hbar$ deformación en la cuantificación. En general, para las álgebras abiertas, va a ser muy difícil encontrar una $\hbar$ deformación con esta propiedad. ¿Cómo se puede encontrar una deformación con esta propiedad?
