Campo cúbico y la correspondiente forma binaria cúbica

Question

Actualmente estoy leyendo sobre formas cúbicas binarias y campos numéricos cúbicos (principalmente sobre el uso de formas cúbicas binarias con coeficientes enteros para parametrizar órdenes en el campo cúbico) y he pensado que podría ser bueno hacer algunos cálculos para entender cómo funciona esta teoría tomando un ejemplo concreto.

Dado un campo cúbico quiero encontrar la correspondiente forma cúbica binaria asociada a él o más bien al anillo de enteros de $K$ ¿debo decir?

Supongamos que tomamos $$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\supset\mathbb{Q}$$

Desde $$x^{3}-2\in\mathbb{Q}[x]$$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el criterio de Eisenstein con $p=2$ obtenemos $$[K:\mathbb{Q}]=3$$

El anillo de enteros de $K$ es $$\mathcal{O}_{k}=\mathbb{Z}[\alpha]=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$$ con base integral $\{1,\alpha,\alpha^2\}$ por lo que $$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}|a,b,c\in\mathbb{Z}\}$$

En el siguiente paso me gustaría encontrar (si es posible) la forma cúbica binaria correspondiente. ¿Corresponderá esta forma al campo del anillo?

Siguiendo a Belabas y Cohen ''Formas cúbicas binarias y campos numéricos cúbicos'': Sea $K$ sea un campo numérico definido por una raíz $\theta$ del polinomio $x^3+px^2+qx+r$ con $p,q,r \in\mathbb{Z}$ tal que existe una base integral de la forma $(1,\theta,(\theta^2+t\theta+u)/f)$ con $t,u,f\in \mathbb{Z}$ y $f=[\mathbb{Z}_{k}:\mathbb{Z}[\theta]]$ Entonces elegimos $\alpha=\theta$ y $\beta=(\theta^2+t\theta+u)/f)$ tenemos explícitamente: $$\begin{split} F_{B}(x,y)&=((t^3-2t^2p+t(q+p^2)+r-pq)/f^2)x^3\\&+((-3t^2+4tp-(p^2+q))/f))x^2y\\ &+(3t-2p)xy^2-fy^3\end{split}$$

En caso de $x^{3}-2$ tenemos $\begin{cases}q=0\\r=-2\\p=0\end{cases}$

Y $f=[\mathbb{Z}_{k}:\mathbb{Z}[\theta]]=1$

Conectando todo obtengo algo así $F_{B}(x,y)=-2x^3-y^3$

¿Funciona esto? ¿O es completamente incorrecto? ¿Hay algún otro algoritmo para encontrar dicha forma?

Gracias.

Answer 1

Obtengo el formulario $$\mathcal{C}(x,y) = (a, b, c, d) = (1, 3, 3, -1) = x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 - y^3$$ correspondiente a la imagen del mapa de Davenport-Heilbronn pero hay infinitas formas cúbicas binarias aceptables, en una clase correspondiente a la imagen, relacionadas entre sí por una sustitución $\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} = M \begin{pmatrix}{x'}\\{y'}\end{pmatrix}$ , donde $M = \begin{pmatrix}{\alpha}&{\beta}\\{\gamma}&{\delta}\end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb{Z})$. The form $\mathcal{C}(x, y)$ is transformed into $\mathcal{C}'(x',y') = -2 x'^3 - y'^3$ using $M = \begin{pmatrix}{-1}&{-1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}$ por lo que sus cálculos son correctos.

No recuerdo si el $GL_2(\mathbb{Z})$ Se dice que la clase corresponde al campo o al anillo, pero ciertamente contiene información útil sobre el campo y el anillo. $K$ y el anillo de enteros. El anillo de enteros se puede leer a partir de los coeficientes de la forma La base integral puede expresarse como $\{1, a \zeta , a \zeta^2 + b \zeta \}$ , donde $\zeta$ satisface $\mathcal{C}(\zeta , 1) = 0$ . También el campo $ \mathbb{Q} (\zeta)$ es isomorfo a $\mathbb{Q}(2^{1/3})$ .

Sí, existe un algoritmo para calcular dicha forma:

1. Calcular una base integral: $\{ 1, \omega_2, \omega_3 \}$ para el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de $K$ .
2. Calcular el discriminante $\Delta$ del campo cúbico $K$ .
3. Calcular un formulario $ \frac{1}{\sqrt{\Delta }} \prod_{(i, j) \in \Theta } (\omega_2^{\tau^i} - \omega_2^{\tau^j}) x + (\omega_3^{\tau^i} - \omega_3^{\tau^j}) y $ , donde $\Theta = \{ (0, 1), (0, 2), (1, 2) \}$ y $\tau^i , \tau^j $ son las incrustaciones de $K$ .