Si $x=\frac{(r-p)(s-q)}{(r-q)(s-p)}$ ¿Qué es? $\frac{(s-r)(q-p)}{(q-r)(s-p)}$ en términos de x?

Question

Si $x=\frac{(r-p)(s-q)}{(r-q)(s-p)}$ ,

$y=\frac{(s-r)(q-p)}{(q-r)(s-p)}$

Me han pedido que reescriba y en términos de x.

He intentado adivinar la solución y así es: $1-x=y$

¿Hay alguna forma más concreta de obtener esta solución que no sea adivinando?

Answer 1

Lo primero que notaría es que, salvo un cambio de signo, $x$ y $y$ tienen el mismo denominador. Así, la suma de $x$ a $y$ : $$x+y=\frac{(r-p)(s-q)}{(r-q)(s-p)}+\frac{(s-r)(q-p)}{(q-r)(s-p)}=\frac{(r-p)(s-q)-(s-r)(q-p)}{(r-q)(s-p)}$$ $$=\frac{rs-ps-rq+pq-(sq-rq-sp+rp)}{(r-q)(s-p)}$$ $$=\frac{rs+pq-sq-rp}{(r-q)(s-p)}$$ Ahora bien, tenga en cuenta que $(r-q)(s-p)=rs+pq-sq-rp$ : $$=1$$ Así, $x+y=1$ y $1-x=y$ .

Answer 2

En $x=\frac{(r-p)(s-q)}{(r-q)(s-p)}$ y $y=\frac{(s-r)(q-p)}{(q-r)(s-p)}$ , denotan: $$x=\frac{ab}{cd}\Rightarrow \begin{cases}r-p=a\\ s-q=b\\ r-q=c\\ s-p=d\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}s-r=b-c\\ q-p=a-c\\ q-r=-c\\ s-p=d\end{cases} \Rightarrow y=\frac{(b-c)(a-c)}{-cd}=\\ \frac{ab-c(a+b-c)}{-cd}=-\frac{ab}{cd}+\frac{c(s-p)}{cd}=-x+1.$$