Por qué en bolas abiertas es el radio $r>0$ ?

Question

La definición habitual es la siguiente:

Def.1 : dado $(a,f)$ un espacio métrico, $c \in a$ y $r \in \Bbb{R}_{>0}$ la bola abierta de radio $r$ sobre $c$ es el conjunto $$\mathcal{B}_f(c,r)=\{x \in a| f((c,x))<r\}$$

Por qué en bolas abiertas es el radio $r>0$ ? Y si en Def.1 Tengo $r \in \Bbb{R}$ entonces $$\mathcal{B}_f(c,r)=\emptyset \Leftrightarrow r \leq 0$$ ???

Answer 1

En un espacio métrico, una distancia (en su caso $f$ ) se define como no negativo, es decir $\forall x,y\ f(x,y) \geq 0$

Así que dejemos $x \in \mathcal{B}(c,r)$ entonces $f(c,x) < r$ pero si $r \leq 0$ entonces $0\leq f(c,x) < r \leq 0$ que no puede ser. Por lo tanto, $\nexists x \in \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{B} = \emptyset$

Para otra implicación ( $\mathcal{B}_f(c,r) = \emptyset \Rightarrow r \leq 0$ ) sólo hay que tener en cuenta que $f(c,c) = 0$ por lo que si $c \notin \mathcal{B}$ entonces $r \leq 0$

Answer 2

Si $f(⋅,⋅)$ es la métrica/distancia que dota a su espacio métrico $A$ con una estructura de espacio métrico, entonces $f(c,x)\geq 0$ para todos $c,x\in A$ por definición de la métrica. Esto implica que la desigualdad $f(c,x)<r$ , para $r<0$ no tiene solución.