Esta pregunta se refiere a los sistemas de raíces en el álgebra de la mentira. Quiero demostrar que un sistema de raíces irreducible es isomorfo a su dual. Sea $\Phi$ sea un sistema de raíces y que $\Phi^{v}=\{\alpha^v: \alpha \in \Phi\}$ donde $\alpha^v=\frac{2\alpha}{(\alpha,\alpha)}$ sea su dual. Es $\alpha \to \alpha^v$ es un isomorfismo entre sistemas de raíces? Pero este mapa no preservará los enteros de Cartan. Aquí con este mapa $<\alpha^v, \beta^v>=<\beta, \alpha>$ . Por favor, ayúdenme.
Respuestas
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Dietrich Burde
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Un sistema de raíces irreducible $\Phi$ es autodual, es decir, isomorfo a su sistema radicular dual $\Phi^{\vee}$ si y sólo si es del tipo $A_n,D_n,B_2,G_2,F_4,E_6,E_7,E_8$ . De hecho, si todas las raíces tienen la misma longitud, entonces $\Phi\cong \Phi^{\vee}$ . Si hay dos longitudes de raíces, entonces no siempre es cierto, a saber, no para los dos tipos restantes $B_n$ y $C_n$ para $n>2$ que son duales entre sí. Esto completa la lista de sistemas de raíces irreducibles.
Lo que tenemos es realmente una dualidad, en el sentido de que $\Phi^{\vee\vee} \cong \Phi$ . No hay ninguna razón para $\Phi$ y $\Phi^\vee$ ¡para ser isomorfo!
Esto es realmente falso: $B_n$ y $C_n$ son duales entre sí, pero no son isomorfas para $n > 2$ . (Para el resto de sistemas de raíces irreducibles, su afirmación es cierta, puede pasar por la clasificación).
