Diferencia de trayectoria en una esfera debido a la desviación geodésica

Question

Entre dos puntos de la misma latitud pero diferentes longitudes [coordenadas esféricas $(\theta,\phi)$ medimos dos longitudes de arcos $(s_1,s_2)$ a lo largo de (1) la geodésica o gran círculo rojo (un gráfico de integración numérica) y (2) a lo largo de la constante $ \phi$ arco púrpura más grueso no geodésico o latitud.

No hay diferencia de estas distancias en el ecuador ni en los polos, pero sí un máximo en algún valor intermedio de latitud.

Cómo encontrar el $\phi$ en la que la diferencia de estas distancias de arco $ (s_2-s_1) $ ¿es un máximo?

Agradeciendo de antemano.

Answer 1

Por comodidad de la aplicación, utilizaremos coordenadas esféricas similares a las de la Tierra con $\phi=0$ refiriéndose al ecuador (para que los polos estén en $\phi=\pm\frac\pi2$ ). Además, dejamos que el ángulo acimutal entre $s_1$ y $s_2$ sea $2\theta\,\, (0<2\theta\le\pi)$ .

Buscamos maximizar los $\phi$ la expresión: $$ D(\theta,\phi)=2\theta\cos\phi-\arccos(\cos^2\phi\cos2\theta+\sin^2\phi)= 2\theta\cos\phi-\arccos(1-A_\theta\cos^2\phi), $$ con $A_\theta=1-\cos2\theta=2\sin^2\theta$ .

Igualando la derivada de $D(\theta,\phi)$ en $\phi$ a $0$ encontramos (además del caso trivial $\sin\phi=0$ ) la ecuación $$ \boxed{\cos^2\phi=\frac{2\theta^2-A_\theta}{\theta^2A_\theta}=\frac1{\sin^2\theta}-\frac1{\theta^2}}, $$ que al ser resuelta da la latitud maximizadora $\phi_\text{max}$ .

Para separaciones acimutales pequeñas ( $\theta\to0$ ) $\phi_\text{max}=\arccos\frac1{\sqrt3}\approx 54.74^\circ.$

Answer 2

(No sobre mi respuesta, respecto a parte de la discusión con la respuesta del usuario).

F[x_, t_] := t Cos[x] - ArcCos[1 - (1 - Cos[t]) Cos[x]^2]
Plot3D[F[XX, TT], {XX, 0, Pi / 2}, {TT, 0, Pi }, 
 AxesLabel -> Automatic, PlotLabel -> " Geodetic_ Devn"]

Todavía me falta algo en la versión no modificada $\phi$ dominio de latitud de la función del usuario mencionada anteriormente .. ( la desviación geodésica es más de la mitad del radio terrestre ! ). Por favor, comenten.