Demostrar que existen ciertos límites

Question

Dejemos que $K$ sea un campo de valoración discreto donde $\nu:K\longrightarrow\mathbb Z$ es una valoración suryectiva. Sea $\lambda\in]0,1[\subseteq\mathbb R $ entonces la valoración $\nu$ induce una métrica $d_\nu$ en $K$ definida de la siguiente manera: $$d_\nu(x,y):=\lambda^{\nu(x-y)}$$

Consideremos ahora una secuencia de Cauchy $(x_n)$ en $K$ (con respecto a la métrica $d_{\nu}$ ); tengo que demostrar que existe el siguiente límite: $$\lim_{n\to\infty}\nu(x_n)$$

¿Tiene alguna idea? ¿Por qué necesito el hecho de que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy? Observa que la secuencia $n\mapsto \nu(x_n)$ tiene valores en $\mathbb Z$ .

Answer 1

Si $(x_l)_{l \in \mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy con respecto a $d_v$ , entonces para un $\epsilon > 0$ podemos elegir $N \in \mathbb N$ tal que $$ \forall n, k > N : d_v(x_k, x_n) = \lambda^{v(x_k - x_n)} < \epsilon. $$ Pero $$ \lambda^{v(x_k - x_n)} < \epsilon \Leftrightarrow v(x_k - x_n) > \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(\lambda)}. $$ Como $\epsilon \to 0$ la última expresión converge al infinito. Por lo tanto, debemos tener $v(x_k - x_n) \to \infty$ .

Debido a la definición de una valoración, ya sea eventualmente $x_n = x_k = x$ para un fijo $x \in K$ o $\min \{ v(x_k), v(x_n)\} \to \infty$ lo que significaría $v(x_l) \to \infty, l \to \infty$ .