isomorfismo entre $\frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2+x+1)} $ y $ \frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2 -2)} $

Question

Lo sé. $\frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2+x+1)} $ y $ \frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2 -2)} $ es isomorfo porque ambos son extensión de 2 grados de $ \mathbb{F}_5 $ .

Pero no puedo contraer un isomorfismo explícito entre ellos.

¿Podría mostrarme el mapa de isomorfismo entre $\frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2+x+1)}$ y $ \frac{\mathbb{F}_5[x]}{(x^2 - 2)} $ ?

Traté de mostrar $$ f\colon\mathbb{F}_5[x]\to\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x1)$$ es un isomorfismo, que envía $x$ a $g(x)c(x^2x-1)$ . No pude encontrar $g(x)$ y mostrar $f$ es ring hom y la biyección es clara. No pude encontrar $g(x)$ porque el término constante no desaparece. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Como se ha pedido, esbozo el isomorfismo. Si fijamos $y:=2x+1\in\mathbb F_5[x]/\left(x^2+x+1\right),$ entonces vemos que $$y^2=4x^2+4x+1=2.$$ En particular, podemos construir un mapa $$\mathbb F_5[y]\to\frac{\mathbb F_5[x]}{(x^2+x+1)}$$ enviando $y\mapsto2x+1.$ No es difícil comprobar que esto es surjetivo, ya que $3y+2\mapsto x.$ Queda por demostrar que nuestro núcleo es $\left(y^2-2\right).$ El núcleo requiere $p(y)\in\mathbb F_5[y]$ tener $$p(2x+1)\equiv0\pmod{x^2+x+1}.$$ Sin embargo, esto equivale a $$p(2x+1)\equiv0\pmod{(2x+1)^2-2},$$ Así que, en efecto $p(y)\in\left(y^2-2\right).$ Esto termina la construcción de nuestro isomorfismo.

A alto nivel, buscamos un automorfismo de $\mathbb F_{5^2},$ por lo que tiene sentido buscar mapas lineales para hacer el truco. Esto es lo que motiva el $y:=2x+1$ sustitución.