¿Por qué no se definen los morfismos como un conjunto de relaciones?

Question

He estado estudiando la teoría de las categorías y en los libros nunca queda demasiado claro qué es realmente un morfismo. Algunos dicen que un morfismo puede ser una función, pero hay ejemplos de morfismos que no son funciones, por ejemplo: Morfismos en la categoría de relaciones. Mi opinión es que son relaciones que conservan propiedades. En Simmons : Introducción a la teoría de las categorías Hay una pequeña lista de cosas que son categorías:

Y de los pocos que conozco, se podrían representar los morfismos como relaciones de preservación de propiedades. Es decir, cada objeto en cada una de las categorías puede ser un conjunto y tomando una relación apropiada, podríamos definir un morfismo como siendo esta relación(?). Entonces, ¿qué ocurre?

• ¿Estoy equivocado y ver los morfismos como conjunto de relaciones tendría algún tipo de problema? (¿Por qué?)

• ¿Esperan que nos demos cuenta de que realmente son un conjunto de relaciones?

Otro suposición salvaje es que parece que una categoría es un concepto teórico lógicamente preestablecido. Es decir, ¿una categoría es un concepto que puede hacerse sin mencionar conjuntos? Esto parece un poco impar porque cada uno de los conceptos de la lista parece necesitar la teoría de conjuntos. ¿Supongo que el único que no la necesita son las categorías de categorías?

Answer 1

Su lista de ejemplos es realmente engañosa, aunque estos son los ejemplos más fáciles de entender: categorías donde los objetos son conjuntos con estructura. Sin embargo, esto no tiene por qué ser así.

Algunos ejemplos de otros tipos de categorías $\mathcal{A}$ :

• dejar $P$ un conjunto (pre) ordenado. Dejemos que los objetos de $\mathcal{A}$ sean elementos de $P$ y un morfismo $x\to y$ para ser la tupla $(x,y)$ que existe si y sólo si $x\leq y$ (¡esto sí es una categoría! ¿Por qué?)
• dejar $M$ sea un monoide. Sea $*$ sea el único objeto de $\mathcal{A}$ y morfismos $*\to*$ sean todos los elementos de $M$ . La composición viene dada por la operación monoide $\cdot$ .
• dejar $G$ sea un carcaj (grafo dirigido posiblemente con bucles y múltiples aristas entre nodos). Formar el categoría libre $\mathcal A$ en $G$ tomando los nodos como objetos. Un morfismo $A\to B$ es un camino desde $A$ a $B$ . La composición se hace pegando caminos. (Los caminos vacíos dan identidades)
• dejar $\mathcal{A}'$ sea una categoría. Ahora dejemos que los objetos de $\mathcal{A}$ sean pares de secuencias $((A_i)_{i\in \mathbb N}, (\delta_i : A_{i} \to A_{i+1})_{i\in \mathbb{N}})$ de objetos y morfismos en $\mathcal{A}'$ . Un morfismo: $$((A_i)_{i\in \mathbb N}, (\delta_i : A_{i} \to A_{i+1})_{i\in \mathbb{N}}) \to ((B_i)_{i\in \mathbb N}, (\eta_i : A_{i} \to A_{i+1})_{i\in \mathbb{N}})$$ es una secuencia de morfismos $(f_i : A_i \to B_i)_{i\in \mathbb N}$ tal que los cuadrados obvios de morfismos conmutan (¿cuáles?)

Probablemente sería una buena idea verificar que todo lo anterior son categorías. Entonces deberías estar bastante cómodo con los morfismos no siendo relaciones.

He aquí un ejemplo más "oscuro":

• tomar proposiciones (de alguna lógica) como objetos de $\mathcal{A}$ y un morfismo $A\to B$ es una prueba de $B$ dado $A$ ; la composición se hace simplemente pegando pruebas $A\to B$ y $B\to C$ juntos a una prueba $A\to C$

Answer 2

A categoría consiste en:

• un conjunto llamado $O$ ;
• para cada dos elementos $A, B \in O$ un conjunto llamado $\operatorname{Hom}(A, B)$ ;
• por cada tres objetos $A, B, C$ una función $\circ_{ABC} : \operatorname{Hom}(B, C) \times \operatorname{Hom}(A, B) \to \operatorname{Hom}(A, C)$ , por lo general sólo se denota $\circ$ ya que no puede haber confusión,

de manera que las funciones $\circ$ son asociativos cuando se definen.

En particular, una categoría es, en cierto sentido, una generalización de la noción de grupo en la que dos elementos (es decir, morfismos) pueden tener o no un producto, y un elemento puede tener o no un inverso.

Al igual que se pueden tener grupos abstractos cuyos elementos no estén dados por, digamos, permutaciones o matrices†, se pueden tener categorías abstractas cuyos objetos no estén dados por conjuntos y cuyos morfismos no estén dados por funciones entre esos conjuntos. Y éstas son tan útiles en la teoría de categorías como los grupos abstractos lo son en la teoría de grupos. Por ejemplo, se puede codificar la noción de cuadrado conmutativo de morfismos en alguna categoría $\mathsf{C}$ como un functor

$$F : \mathsf{J} \to \mathsf{C},$$

donde $J$ es una categoría especial que consta de cuatro objetos y cuatro morfismos que forman un cuadrado conmutativo. (Véase Diagrama en Wikipedia para saber más).

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† Por supuesto que existe el teorema de Cayley, pero ¿realmente quieres incrustar, digamos, $GL_3(\mathbb{C})$ como un subgrupo de las permutaciones de un conjunto incontablemente infinito? Se puede hacer, pero no es útil.

Answer 3

Esta es una de mis categorías favoritas:

• Los objetos son números naturales
• $\hom(m, n)$ es el conjunto de todos los $n \times m$ matrices
• La composición es la multiplicación de matrices

Me gusta este ejemplo, porque:

• Usted ya está muy familiarizado con esta categoría
• Se trata claramente de un algebraico estructura
• Las categorías son claramente el a la derecha tipo de estructura para describirla (por ejemplo, "monoide" sólo sirve para matrices cuadradas). Además, véase "categoría abeliana" para cubrir también la adición.
• Viola muchas ideas preconcebidas que uno puede tener sobre las categorías