¿Cómo puedo demostrar que $(x^2)f(x)$ , donde $f(x)$ es la función de Dirichlet, no es ninguna función derivable que no sea $x = 0$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $(x^2)f(x)$ no es derivable en ninguna parte que no sea $x = 0$ cuando $f(x)$ es la función Dirichlet?

Answer 1

Si $g(x) = x^2f(x)$ era diferenciable en $x_0 \neq 0$ entonces también lo sería $f(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ en $x_0$ como el cociente de dos mapas diferenciables es diferenciable si el denominador no es evanescente en el punto considerado. Lo cual no es el caso ya que $f$ ni siquiera es continua.

Ahora tienes para $x \neq 0$ $$\left\vert \frac{g(x)}{x} \right\vert \le \vert x \vert,$$ demostrando que $g$ es diferenciable en $0$ con $g^\prime(x)=0$ .