Finito $\lim f(x)$ pero sin límites $f'(x)$

Question

Supongamos que f(x) es continua en $[2, +\infty)$ diferenciable en $(2, +\infty)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$ es finito. Entonces existe $c > 2$ tal que $f'(x)$ está acotado en $[c, + \infty)$ .

¿Cómo encontrar un contraejemplo para esta afirmación?

Answer 1

Un ejemplo muy sencillo es $$f(x)=\frac{\cos(x^3)}{x}\ ,$$ $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0\ ,$$ pero $$\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[-3x\sin(x^3)-\frac{\cos(x^3)}{x^2}\right]$$ no existe y $f'$ no tiene límites.

Answer 2

En primer lugar, se crean funciones de delimitación para $f$ para asegurarse de que tiene un límite. Luego se hace $f$ oscila cada vez más rápido entre las funciones de delimitación superior e inferior, por lo que su derivada no estará acotada.