con esta desigualdad $\ln{x}\ln{(1-x)}<\sqrt{x(1-x)}$

Question

Si $0<x<1$, mostrar que $$\ln{x}\ln{(1-x)}<\sqrt{x(1-x)}$ $

uso derivado que no es fácil, f(x)=(\ln{x}\ln{(1-x)})^2-x(1-x) $$, $$ $$ f'(x)=2x-1+\dfrac{2\ln{x}\ln^2{(1-x)}}{x}+\dfrac{2\ln^2{x}\ln{(1-x)}} {x-1} $$
y $f(x)=f(1-x)$, entonces se demuestra la desigualdad tiene en $x\in(0,1/2]$. ¿puede alguien tener breve solución?

Answer 1

Para el $x\in (0,1)$ $$0<-\log(x)<\frac{1-x^2}{2x}.$$ This follows by estimating the integral $$-\log(x)=\int_x^1\frac{dt}{t}$$ with a trapezoid. Also $\log (x) = 2\log\sqrt {x} $ so $% $ $0<-\log(x)<\frac{1-x}{\sqrt{x}}$en este intervalo y su desigualdad sigue.

Answer 2

Utilizar la conocida desigualdad, tenemos $$\sqrt{ba}<\dfrac{b-a}{\ln{b}-\ln{a}},a>0,b>0$ $ deje $b=x,a=1$, entonces tenemos %#% $ #%

$$\Longrightarrow \ln{x}>\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}$ $ simaler tenemos $$\Longrightarrow -\ln{x}<\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\tag{1}$$ $$-\ln{(1-x)}<\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}\tag{2}$ tenemos $(1)\times(2)$ $

Answer 3

Esto es de hecho un comentario con una foto. Se trata de obtener una prueba simbólica formal de la desigualdad. De lo contrario sólo podríamos ofrecer

Answer 4

¿Let\begin{equation*} f(x)=\ln x\ln (1-x)-\sqrt{x(1-x)},\ for\ 0<x\leq \frac{1}{2}. \end{ecuación *}\begin{eqnarray*} f^{\prime }(x) &=&\frac{\ln (1-x)}{x}-\frac{\ln x}{1-x}+\frac{x-\frac{1}{2}}{% \sqrt{x(1-x)}} \\ &=&\frac{(1-x)\ln (1-x)}{x(1-x)}-\frac{x\ln x}{x(1-x)}+\frac{(x-\frac{1}{2})% \sqrt{x(1-x)}}{x(1-x)} \\ f^{\prime }(x) &=&\frac{g(x)}{x(1-x)},\ where \end{eqnarray *}\begin{eqnarray*} g(x) &=&(1-x)\ln (1-x)-x\ln (x)+(x-\frac{1}{2})\sqrt{x(1-x)} \\ g^{\prime }(x) &=&\sqrt{x\left( 1-x\right) }-\ln \left( 1-x\right) -\ln x+% \frac{\left( -\frac{1}{4}\right) \left( 2x-1\right) ^{2}}{\sqrt{x\left( 1-x\right) }}-2 \\ g^{\prime \prime }(x) &=&\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}+3\frac{\left( \frac{1}{2}% -x\right) }{\sqrt{x\left( 1-x\right) }}+\frac{\left( -\frac{1}{8}\right) \left( 2x-1\right) ^{3}}{x\left( 1-x\right) \sqrt{x(1-x)}} \\ &=&h(x)\frac{\left( 2x-1\right) }{x\left( x-1\right) \sqrt{x(1-x)}},\ where\ \end{eqnarray *}\begin{eqnarray*} h(x) &=&x-x^{2}-\sqrt{x-x^{2}}+\frac{1}{8} \\ h^{\prime }(x) &=&k(x)\frac{\left( \frac{1}{2}-x\right) }{\sqrt{x(1-x)}},\ \ where \end{eqnarray *}\begin{eqnarray*} k(x) &=&\left( 2\sqrt{x-x^{2}}-1\right) \\ k^{\prime }(x) &=&\frac{2(\frac{1}{2}-x)}{\sqrt{x\left( 1-x\right) }}>0,\ for\ 0<x<\frac{1}{2}. \end{eqnarray *} puede que llevarlo desde aquí?

Answer 5

Sugerencia: establecer a $$f(x)=\sqrt{x(1-x)}-\ln(x)\ln(1-x)$ $ y obtenemos $$ f'(x) = 1/2\, {\frac {1-2\, x} {\sqrt {x (1-x \right) \left}}}-{\frac {\ln \left (1-x \right)} {x}} + {\frac {\ln \left (x \right)} {1-x}} $$ solve the equation $% $ $f'(x)=0$obtenemos por un método numérico $$x_1\approx 0.041543361817929390890$ $ $$x_2=1/2$ $ $$x_3\approx 0.95845663818207060911$ $