Para $p=2$ la respuesta es todos ellos (dado que aquí "entre" sólo puede significar estrictamente "entre"). En $p=3$ o 5 o 7 la respuesta es algo menos de la mitad. Pero para $p=11$ A menos que me equivoque, son sólo 29 de 110.
Me temo que la respuesta como $p$ Las subidas pueden ser vergonzosamente obvias, pero no veo el patrón, así que quiero preguntar.
No busco un recuento exacto. Por eso no he informado del recuento exacto de $p=3,5,7$ aunque por supuesto lo encontré.
Como RideTheWavelet señaló en los comentarios debajo del OP, la respuesta exacta viene dada por
$$\sum_{p\lt q\le p^2}\left\lfloor p^2\over q\right\rfloor$$
donde la suma es sobre primos $q$ entre $p$ y $p^2$ . Por lo tanto, un límite superior es
$$p^2\sum_{p\lt q\lt p^2}{1\over q}$$
$$\sum_{q\lt x}{1\over q}\approx\ln(\ln x)$$
para grandes $x$ obtenemos $p^2(\ln(\ln(p^2)-\ln(\ln p))=p^2\ln2$ como un límite superior aproximado para grandes $p$ . Para un límite inferior tenemos
$$p^2\sum_{p\lt q\lt p^2}{1\over q}-\sum_{p\lt q\lt p^2}1\approx p^2\ln2-(\pi(p^2)-\pi(p))\approx p^2\ln2-{p^2\over2\ln p}=p^2\left(\ln2-{1\over2\ln p} \right)$$
De nuevo, las aproximaciones aquí son fiables sólo para grandes $p$ . Sin embargo, podemos al menos mirarlas para una pequeña prima como $p=11$ . Sugieren $121\ln2\approx83.87$ como límite superior y $121(\ln2-1/(2\ln11))\approx58.64$ como límite inferior. Esto no se acerca al recuento de la OP de $29$ . Pero ese recuento es inexacto: Hay $25$ primos entre $11$ y $121$ y la cuenta correcta resulta ser
$$\sum_{11\lt q\lt121}\left\lfloor121\over q\right\rfloor=\left\lfloor121\over 13\right\rfloor+\left\lfloor121\over 17\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor121\over 113\right\rfloor=9+7+\cdots+1=60$$
Así que ese límite inferior poco fiable, en este caso, es sorprendentemente preciso.
Sabemos el número de primos en $[p,p^2]$ va a ser $\pi(p^2)-\pi(p)$ . Sin embargo, también debemos incluir números de la forma $kq$ , donde $q$ es primo y $p<q<p^2$ . Para cada uno de estos $q$ Hay más o menos $(p^2-p)/q$ tal $k$ 's.
El $n$ El primer $p_n\approx n\ln n+n\ln\ln n-n$ . Si $q$ es primo, entonces su índice es $\pi(q)$ . Así que estamos sumando:
$$\sum_{p<q<p^2, q:\mbox{ prime }}\frac{p^2-p}{q}\approx (p^2-p)\sum_{r=\pi(p)}^{\pi(p^2)}\frac{1}{r\ln r}\approx (p^2-p)[\log(\log(\pi(p^2))-\log(\log(\pi(p))].$$
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