¿La función logarítmica crece más lentamente que cualquier polinomio?

Question

¿Crece $f(x)=ax^b$ más rápido que $g(x)=\ln x$ para todo $a, b > 0$? ¿Puedo decir que $f(x) > g(x)$ a medida que $x$ tiende a infinito?

Pensé que la respuesta era sí, pero este gráfico parece estar contando una historia diferente.

¿El polinomio (la curva verde) cruzará la función logarítmica (la curva roja) y la superará en valor para algún valor grande de x?

Si la respuesta es sí, ¿significa que si resto las dos funciones y lo igualo a cero, la ecuación resultante tendrá dos raíces? ¿Cuáles son las raíces?

Answer 1

La respuesta es sí, aunque en algunos casos (como el que has dado) lleva mucho tiempo para que la función polinómica alcance y domine finalmente a la función logarítmica.

Una formación rigurosa de lo que estás diciendo es: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{P(x)}=0$$

donde $P(x)$ es cualquier polinomio. El límite que tiende a cero solo significa que los términos del denominador dominan cuando $x \to \infty$.

Aquí hay una prueba de la igualdad del límite para el caso de $P(x)=x^b$ para algún $b>0$. El caso de los polinomios sigue como un corolario fácil.

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x^b} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{bx^{b-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{bx^b}=0$$

donde la primera igualdad se desprende de la regla de l'Hôpital.