Aquí está el Prob. 5, Sec. 24, en el libro Topología por James R. Munkres, 2ª edición:
Considere los siguientes conjuntos en el orden del diccionario. ¿Cuáles son continuos lineales?
(a) $\mathbb{Z}_+ \times [0, 1)$
(b) $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$
(c) $[0, 1) \times [0, 1]$
(d) $[0, 1] \times [0, 1)$
Y, aquí está la definición de continuo lineal.
Un conjunto simplemente ordenado $L$ que tiene más de un elemento se llama continuo lineal si se cumple lo siguiente:
(1) $L$ tiene la propiedad de límite superior mínimo.
(2) Si $x < y$ existe $z$ tal que $x < z < y$ .
Mi intento:
Parte (a):
Sabemos que si $X$ es un conjunto bien ordenado, entonces $X \times [0, 1)$ en el orden del diccionario es un continuo lineal. Aquí es un post mío de Math SE sobre este mismo hecho; y, aquí es otro post mío de Math SE.
Dado que el conjunto $\mathbb{Z}_+$ está bien ordenado, por lo que el conjunto $\mathbb{Z}_+ \times [0, 1)$ es un continuo lineal en el orden del diccionario.
Parte (b):
Supongamos que $x_1 \times n_1$ y $x_2 \times n_2$ sean dos elementos cualesquiera de $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ tal que $$ x_1 \times n_1 \prec x_2 \times n_2. $$ Entonces $x_1 < x_2$ , $x_1 = x_2$ y $n_1 < n_2$ .
Si $x_1 < x_2$ entonces tenemos $$ x_1 < \frac{ x_1 + x_2 }{2} < x_2, $$ y por lo tanto $$ x_1 \times n_1 \prec \frac{ x_1 + x_2 }{2} \times n_1 \prec x_2 \times n_2. $$
Por otro lado, si $x_1 = x_2$ y $n_2 = n_1 + 1$ entonces no podemos encontrar ningún elemento $x \times n$ de $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ Satisfaciendo a $$ x_1 \times n_1 \prec x \times n \prec x_2 \times n_2. $$
Así que $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ no satisface el segundo requisito de un continuo lineal.
Dejemos que $S$ sea un subconjunto no vacío de $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ tal que $S$ está limitada desde arriba en $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ ; dejar que $a \times m$ sea un límite superior de $S$ en $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ . Entonces, para cada elemento $x \times n \in S$ tenemos $$ x \times n \preceq a \times m, $$ lo que implica que $ x \leq a$ . Así, el conjunto $$ \pi_1 (S) = \left\{ \ x \in [0, 1) \ \colon \ x \times n \in S \ \mbox{ for some } n \in \mathbb{Z}_+ \ \right\} $$ es un subconjunto superior no vacío y acotado de $[0, 1)$ con $a$ como límite superior. Sea $a_0$ denotan el mínimo límite superior (en $\mathbb{R}$ ) del conjunto $\pi_1(S)$ . Entonces $a_0 \in [0, 1)$ también. [¿Estoy en lo cierto?]
Si $a_0 \not\in \pi_1(S)$ entonces $a_0 \times 1$ es el mínimo límite superior de nuestro conjunto $S$ . Por otro lado, si $a_0 \in \pi_1(S)$ , entonces el conjunto $$ \left( \left\{ a_0 \right\} \times \mathbb{Z}_+ \right) \cap S$$ es no vacía; además $\left\{ a_0 \right\} \times \mathbb{Z}_+$ tiene el tipo de orden de $\mathbb{Z}_+$ . En este caso, no podemos garantizar la existencia de una cota mínima superior para $S$ .
Por ejemplo, dejemos que $S$ sea el subconjunto de $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ dado por $$ S = \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \times \mathbb{Z}_+ = \left\{ \ x \times n \ \colon \ 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, n \in \mathbb{Z}_+ \ \right\}. $$ Este conjunto $S$ está limitada por encima por cualquier elemento de la forma $a \times m$ , donde $ a \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ y $m \in \mathbb{Z}_+$ . Sin embargo, este conjunto no tiene un límite superior mínimo en $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ ya que si $a \times m$ es un límite superior de este conjunto, entonces también lo es el elemento $$ \frac{a+ 1/2}{2} \times m.$$
En resumen, $[0, 1) \times \mathbb{Z}_+$ no satisface ninguno de los requisitos de un continuo lineal.
¿Estoy en lo cierto?
Parte (c):
Dejemos que $S$ sea un subconjunto superior no vacío y acotado de $[0, 1) \times [0, 1]$ . Entonces existe un elemento $a \times b \in [0, 1) \times [0, 1]$ tal que $$ x \times y \preceq a \times b $$ para cada elemento $x \times y \in S$ . Entonces $a$ es un límite superior en $[0, 1)$ para el conjunto $$ \pi_1 (S) = \left\{ \ x \in [0, 1) \ \colon \ x \times y \in S \ \mbox{ for some } y \in [0, 1] \ \right\}, $$ que es un subconjunto de $[0, 1)$ por supuesto. Deje que $a_0$ denotan el mínimo límite superior (en $\mathbb{R}$ ) del conjunto $\pi_1(S)$ . Entonces $a_0 \in [0, 1)$ también.
Si $a_0 \not\in \pi_1(S)$ entonces $a_0 \times 0$ es el mínimo límite superior del conjunto $S$ .
Por otro lado, si $a_0 \in S$ , entonces el conjunto $$ \left( \ \left\{ a_0 \right\} \times [0, 1] \ \right) \cap S $$ es un subconjunto no vacío de $\left\{ a_0 \right\} \times [0, 1]$ y $\left\{ a_0 \right\} \times [0, 1]$ tiene el tipo de orden de $[0, 1]$ por lo que el conjunto $$ \pi_2 \left( \left( \ \left\{ a_0 \right\} \times [0, 1] \ \right) \cap S \right) = \left\{ \ y \in [0, 1] \ \colon a_0 \times y \in S \ \right\}, $$ siendo un subconjunto superior no vacío y acotado de $[0, 1]$ tiene un límite superior mínimo $b_0 \in [0, 1]$ . Entonces el elemento $a_0 \times b_0$ es el límite superior mínimo de $S$ en $[0, 1) \times [0, 1]$ .
Así, hemos demostrado que todo subconjunto superior no vacío y acotado $S$ de $[0, 1) \times [0, 1]$ tiene un límite superior mínimo en $[0, 1) \times [0, 1]$ .
¿Estoy en lo cierto?
Ahora dejemos que $x_1 \times y_1$ y $x_2 \times y_2$ sean dos elementos cualesquiera de $[0, 1) \times [0, 1]$ tal que $$ x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2. $$ Entonces $x_1 < x_2$ o $x_1 = x_2$ y $y_1 < y_2$ .
Si $x_1 < x_2$ entonces tenemos $$ x_1 < \frac{ x_1 + x_2 }{2} < x_2, $$ y por lo tanto $$ x_1 \times y_1 \prec \frac{ x_1 + x_2 }{2} \times y_1 \prec x_2 \times y_2. $$
Por otro lado, si $x_1 = x_2$ y $y_1 < y_2$ entonces tenemos $$ y_1 < \frac{ y_1 + y_2 }{2} < y_2, $$ y por lo tanto $$ x_1 \times y_1 \prec x_1 \times \frac{ y_1 + y_2 }{2} < x_2 \times y_2. $$
En cualquier caso, hemos demostrado que para dos elementos cualesquiera $x_1 \times y_1$ y $x_2 \times y_2$ en $[0, 1) \times [0, 1]$ tal que $x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2$ existe un elemento $x \times y \in [0, 1) \times [0, 1]$ tal que $$ x_1 \times y_1 \prec x \times y \prec x_2 \times y_2. $$
Por lo tanto, $[0, 1) \times [0, 1]$ es un continuo lineal.
¿Estoy en lo cierto?
Parte (d):
Dejemos que $S$ sea un subconjunto superior no vacío y acotado de $[0, 1 ] \times [0, 1)$ . Entonces existe un elemento $a \times b \in [0, 1 ] \times [0, 1 )$ tal que $$ x \times y \preceq a \times b $$ para cada elemento $x \times y \in S$ . Entonces $a$ es un límite superior en $[0, 1]$ para el conjunto $$ \pi_1 (S) = \left\{ \ x \in [0, 1] \ \colon \ x \times y \in S \ \mbox{ for some } y \in [0, 1 ) \ \right\}, $$ que es un subconjunto de $[0, 1]$ por supuesto. Deje que $a_0$ denotan el mínimo límite superior (en $\mathbb{R}$ ) del conjunto $\pi_1(S)$ . Entonces $a_0 \in [0, 1]$ también.
Si $a_0 \not\in \pi_1(S)$ entonces $a_0 \times 0$ es el mínimo límite superior del conjunto $S$ .
Por otro lado, si $a_0 \in S$ entonces no podemos garantizar la existencia de una cota mínima superior para el conjunto $S$ en $[0, 1] \times [0, 1)$ . Por ejemplo, dejemos que $$ S \colon= [0, 1/2 ] \times [0, 1) = \{ \ x \times y \ \colon \ 0 \leq x \leq 1/2, 0 \leq y < 1 \ \}. $$ Entonces $S$ está acotado por encima en $[0, 1] \times [0, 1)$ por cualquier (y sólo un) elemento de la forma $a \times b$ , donde $1/2 < a \leq 1$ y $0 \leq b < 1$ . Sin embargo, este conjunto $S$ no tiene un límite superior mínimo en $[0, 1] \times [0, 1)$ : Si $a \times b$ es un límite superior para $S$ entonces $1/2 < a$ y así $$ \frac{1}{2} < \frac{ 1/2 + a }{2} < a, $$ y así $$ \frac{ 1/2 + a }{2} \times b \prec a \times b, $$ pero $$ \frac{ 1/2 + a}{2} \times b $$ es también un límite superior para el conjunto $S$ .
Así, $[0, 1] \times [0, 1)$ no satisface el primer requisito de un continuo lineal.
¿Estoy en lo cierto?
Ahora dejemos que $x_1 \times y_1$ y $x_2 \times y_2$ sean dos elementos cualesquiera de $[0, 1 ] \times [0, 1)$ tal que $$ x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2. $$ Entonces $x_1 < x_2$ o $x_1 = x_2$ y $y_1 < y_2$ .
Si $x_1 < x_2$ entonces tenemos $$ 0 \leq x_1 < \frac{ x_1 + x_2 }{2} < x_2 \leq 1, $$ y por lo tanto $\frac{ x_1 + x_2 }{2} \times y_1 \in [0, 1] \times [0, 1)$ y $$ x_1 \times y_1 \prec \frac{ x_1 + x_2 }{2} \times y_1 \prec x_2 \times y_2. $$
Por otro lado, si $x_1 = x_2$ y $y_1 < y_2$ entonces tenemos $$ 0 \leq y_1 < \frac{ y_1 + y_2 }{2} < y_2 < 1 , $$ y por lo tanto $x_1 \times \frac{ y_1 + y_2}{2} \in [0, 1] \times [0, 1)$ y $$ x_1 \times y_1 \prec x_1 \times \frac{ y_1 + y_2 }{2} < x_2 \times y_2. $$
En cualquier caso, hemos demostrado que, para dos elementos cualesquiera $x_1 \times y_1$ y $x_2 \times y_2$ en $[0, 1 ] \times [0, 1 )$ tal que $x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2$ existe un elemento $x \times y \in [0, 1] \times [0, 1)$ tal que $$ x_1 \times y_1 \prec x \times y \prec x_2 \times y_2. $$
¿Estoy en lo cierto?
¿Es correcto lo que he hecho en las partes (a) a (d)? Si no es así, ¿en qué me he equivocado?
