Encontrar la matriz de esta transformación lineal

Question

Nos dan $V$ que es un $n$ espacio vectorial dimensional. $T : V \to V$ es una transformación lineal. Hay un vector $v \in V$ tal que $T^n(v) = 0$ . También se nos dice que los vectores $T^{n-1}(v), T^{n-2}(v), \ldots, T(v), v$ forman una base para $V$ .

Las preguntas son:

1. Si $n = 4$ , calcule la matriz de $T$ con respecto a la base.
2. Si $n = 4$ calcula la matriz para $T^n$ para $n = 2,3,4$ .

A partir de una pregunta anterior, sé que si se quiere formar la matriz de una transformación, basta con calcular el valor de $T$ en la base, y expresar su respuesta como una matriz con respecto a la base. Pero, realmente no podemos "calcular" en este caso porque no sabemos cuál es la transformación real.

Además, cuando dicen $T^2(v)$ ¿se refieren sólo a $T(T(v))$ ? Si es así, supongo que $T(T^{n-1}(v)) = 0$ pero no estoy seguro de qué más podemos averiguar o incluso cómo construir una matriz.

En cuanto a la segunda pregunta, no veo realmente lo que están preguntando.

Por último, digamos que encontramos una matriz, llamémosla $M$ . Digamos que tengo un vector $u$ y decir $T(u) = s$ , donde $s$ es algún otro vector. ¿La relación $Mu = s$ ¿se mantiene siempre en este caso?

Muchas gracias por toda su ayuda.

Answer 1

Sí, $T^2(v)$ significa $T(T(v))$ en general $T^k(v)$ es la composición de $T$ con ella misma $k$ tiempos. Y tienes razón en cuanto a cómo debemos abordar este problema, calcular cómo actúa la transformación sobre la base. A continuación describiré el proceso de cómo hacer la primera parte, y para hacer la segunda parte harás exactamente lo mismo, pero sustituyendo la transformación $T$ con las transformaciones $T^n$ para cada $n$ .

Para $n = 4$ tenemos la base como $$ v_1 = T^3(v), v_2 = T^2(v), v_3 = T(v), v_4=v$$

Para calcular la matriz de una transformación con respecto a una base ordenada, simplemente calculamos cómo actúa la transformación sobre esa base. En este caso tenemos $$T(v_1) = T(T^3(v)) = T^4(v) = 0$$ por nuestra suposición de que $T^n(v) = 0$ para cada $n$ . Entonces tenemos $$T(v_2) = T(T^2(V)) = T^3(V) = v_1,$$ $$T(v_3) = T(T(v)) = T^2(v) = v_2$$ y $$T(v_4) = T(v) = v_3$$

Así que ahora los componemos en una matriz y obtenemos

$$[T]_{(v_1, v_2, v_3, v_4)} = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$$

Debería poder realizar el mismo proceso para la transformación $T^n$ para cada $n$ requerido en la parte (b).