Rango de la imagen homomórfica de un grupo abeliano finitamente generado

Question

He estado tratando de encontrar una prueba relativamente sencilla del siguiente resultado:

dejar $f$ sea un homomorfismo de grupo tal que $f: G \to K$ donde $G$ y $K$ son grupos. Entonces, $rank(f(G))\leq rank(G)$ .

¿Podría alguien proporcionarme uno?

Gracias.

Answer 1

Conozco dos definiciones de rango, una es la de todos los grupos, $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\rank(G)=\min \{|X| : X\subset G\text{ generates $ G $.}\}$ . El otro es para grupos abelianos, y se define por $\rank(G)=\max\{|X| : \not\exists_{a_i\in\mathbb{Z},x_i\in X} \sum_{i=0}^r a_i x_i =0\text{ unless all the $ a_i=0 $}\}$ .

En el primer caso, si $X$ genera $G$ entonces $f(X)$ genera $f(G)$ ya que si $f(g)\in f(G)$ , $g=\prod_{i=1}^n x_i$ para $x_i\in X$ desde $X$ genera $G$ . Así, $f(g)=\prod_{i=1}^n f(x_i)$ y $f(X)$ genera $f(G)$ . $|f(X)|\le |X|$ Así que $\rank(f(G))\le \rank(G)$ .

En caso contrario, si $X$ es un conjunto de elementos linealmente independientes en $f(G)$ entonces para cada elemento de $X$ , elija una preimagen en $G$ Llama a este conjunto $Y$ . Entonces, si para algunos $a_i,y_i$ tuvimos $$\sum_{i=0}^r a_iy_i=0,$$ podemos tomar $f$ de ambas partes para obtener $$ f\left(\sum_{i=0}^r a_i y_i\right)= \sum_{i=0}^ra_if(y_i) = f(0)=0.$$ Sin embargo, se trata de una dependencia lineal entre los elementos de $X$ Así que todos los $a_i$ debe ser 0. Por lo tanto $Y$ es linealmente independiente, con la misma cardinalidad que $X$ Así que $\rank(G)\ge \rank(f(G))$ .

Obsérvese que necesitamos que AC elija el conjunto $Y$ aquí, y posiblemente para mostrar $|f(X)|\le |X|$ aunque no estoy seguro de esa parte.