¿Es un grupo cíclico de $\mathbb Z _p^*=\{ 1, 2, 3, ... , p-1 \}$?

Question

En el curso de graduación, los dos grupos que se utilizan con más frecuencia puede ser $$\{ 0, 1, 2, ... , p-1\}$$ and $$\{ 1, 2, ... , p-1\}$$ where $p$ es un primo.

El primero es un grupo bajo la adición y además es un grupo cíclico cuyo generador es $p-1$. También podemos describir el conjunto solución de a$x^p=1$${\bf C}$.

El último es un grupo bajo la multiplicación. Fermat teorema implica que $$a^{p-1} =1~~~ (\text{mod}\;\;p)$$ for $un\in \{ 1, ... , p-1\}$. But this is not sufficient for $ \{ 1, ... , p-1\}$ a ser cíclica.

Mi pregunta es :

$$ \{ 1, ... , p-1\}$$ es cíclico ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está la prueba de que $G=\mathbb{F}_p ^*$ es cíclico (de hecho, cualquier finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclico). Uno necesita saber que un determinado grupo abelian es el producto directo de sus subgrupos de Sylow: $$G \simeq G_{p_1} \times ...\times G_{p_n}$$ donde $p_j$ es un primer e $G_{p_j}$ orden $p_j^{n_j}$. Así que usted puede asumir que el grupo de la orden es una potencia de un primo, decir $G$ orden $q^n$. Pero entonces, si $G$ no contiene un elemento de orden $q^n$, el orden de cada elemento divide $q^{n-1}$, es decir, para todos los $a\in G$, $$a^{q^{n-1}}-1=0$$ en el campo. Pero esto no puede ser cierto porque el polinomio de orden $q^{n-1}$ $q^n$ raíces.

Answer 2

Es cíclico. Un generador de $a \in \mathbb F_p^*$ satisfacer $|a| = p - 1$ donde $|a|$ es el orden de $a$. Podemos encontrar el generador de la siguiente manera. Factor $p - 1$ $p - 1 = q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_n^{a_n}$ donde $q_i$ son distintos de los números primos, y $a_i$ son todos los no-cero.

1. Vamos a tratar de encontrar elementos de $\mathbb F_p^*$ que tienen órdenes de $q_i^{a_i}$. Desde $x^{p-1} - 1 = 0$ $p - 1$ raíces (por el teorema de Fermat) y $x^{p-1} - 1$ factores, por cualquier $i$, como \begin{align*} x^{p-1} - 1 & = \left(x^{q_i^{a_i}} - 1\right)\left(1 + x^{q_i^{a_i}} + \ldots + \left(x^{q_i^{a_i}}\right)^{(p-1)q_i^{-a_i} - 1}\right), \end{align*} sabemos que $x^{q_i^{a_i}} - 1$ tiene exactamente $q_i^{a_i}$ raíces contando grados. Un argumento similar se puede hacer a la conclusión de que la $x^{q_i^{a_i - 1}} - 1$ tiene exactamente $q_i^{a_i - 1}$ raíces. Por lo tanto, existe cierta $g_i \in \mathbb F_p^*$ tal que $g^{q_i^{a_i}} = 1$$g^{q_i^{a_i - 1}} \ne 1$. Vemos que $|g| \mid q_i^{a_i}$ pero $|g| \nmid q_i^{a_i - 1} $, lo $|g| = q_i^{a_i}$.
2. Deje $g = g_1g_2\ldots g_n$. Obviamente $|g| \mid p - 1$, es decir, $|g| = q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_n^{b_n}$$b_n \le a_n$. Escribo esto como $$ \prod_{i} g_i^{q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_n^{b_n}} = 1. $$ Fix $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$. Plantear la ecuación de arriba a la $q_k^{a_k - b_k}$-ésima potencia para todas las $k \ne j$, sucesivamente: \begin{align*} \prod_{i} g_i^{(p-1)q_j^{b_j-a_j}} & = 1. \end{align*} Para $i \ne j$, el factor de $g_i^{(p-1)q_j^{b_j-a_j}} = 1$ porque $|g_i| = q_i^{a_i} \mid (p-1)q_j^{b_j - a_j}$. Así que la única no-identidad factor es el término que se $i = j$: $$ g_j^{(p-1)q_j^{b_j-a_j}} = 1. $$ Esto significa $|g_j| \mid (p-1)q_j^{b_j - a_j} = (p-1)q_j^{-a_j}q_j^{b_j}$, pero $|g_j| = q_j^{a_j}$$q_j \nmid (p-1)q_j^{-a_j}$, debemos tener $b_j = a_j$.

Answer 3

Es un teorema general que cada finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclico. Es decir, si $F$ es cualquier campo, el conjunto $F^*$ de todos los no-cero elementos en $F$ siempre es un grupo bajo la multiplicación en el campo. Cualquier subgrupo finito de $F^*$ es cíclico. Por tanto, el grupo $\mathbb Z_p^*$ que usted describe es cíclico, ya que $\mathbb Z_p$ es un campo.

Hay varias pruebas para llegar a este resultado, uno de ellos utiliza una caracterización de finito cíclico de los grupos que se pueden aplicar directamente a $Z_p^*$. La caracterización de finito cíclico de los grupos es que si $G$ es un grupo finito de orden $n$ $G$ es cíclico si y sólo si, para los muy $d$ que divide $n$ el grupo $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $d$. La prueba no es muy duro y es un clásico. Cabe señalar que la prueba no apunta a ningún generador, pero sólo demuestra la existencia de un generador. Por consiguiente, el uso de este teorema a demostrar que $\mathbb Z_p^*$ es cíclica, es decir, no se producen de un generador (conocido como un elemento primitivo). No hay ninguna trivial formas de producir tales elementos primitivos.

Algo similar situación es el resultado de la teoría de Galois que cada finito separables extensión es generado por un elemento (un primitivo elemento nuevo). La general de la prueba es de nuevo no-constructivo y la búsqueda de elementos primitivos de cualquier extensión de campo puede ser muy duro.

Answer 4

Considerar el campo $\mathbb{F}_{p}$ - el campo $p$ elementos.

El grupo $\{1,...p\}$ es $\mathbb{F}_{p}^{*}$, es decir todos los elementos inversible de $\mathbb{F}_{p}$.

Este es un grupo cíclico, ya que es un subgrupo finito de un campo (con respecto a la multiplicación).