Evaluación de la integral: $ I = \int e^{\frac xa} \sin x \, \mathrm dx$

Question

Evaluación de la integral:

$$ I = \int e^{\frac xa} \sin x \, \mathrm dx \tag {1}$$

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Esta pregunta se formuló en el 12º grado del CBSE Board (India). Por lo tanto, aquí fue el enfoque que hice.

Propuesta 1: $$ for, \, y= u(x), \forall \, x \in \mathbb{R} $$

$$ \int e^{\frac xa} u(x) \, \mathrm dx = a e^{\frac xa} \left ( au(x) - a^2\dfrac{\mathrm du(x)}{\mathrm dx} + a^3\dfrac{\mathrm d^2u(x)}{\mathrm dx^2} - \dots \right ) \quad \dots\tag {*} $$

Prueba: Esto se puede demostrar fácilmente aplicando por partes en el LHS y restándolo con el RHS a una cantidad que se puede hacer pequeña que cualquier otra cantidad asignable según sea necesario.

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Así que, usando lo mismo para evaluar la integral $(1)$ obtenemos:

$$I = ae^{\frac xa} \left ( (\sin x) - (\cos x) + (-\sin x) - (-\cos x) + (\sin x) - (\cos x) + (-\sin x) - (-\cos x) + (\dots) \right) $$

Claramente, las repeticiones de las funciones seno y coseno dentro de los paréntesis en el RHS se cancelan entre sí, por lo que independientemente del valor de $x$ la serie debería converger a '0'.

$$\therefore I = 0$$

Pero, espera, el integrando es continuo y es estrictamente creciente y estrictamente decreciente para intervalos particulares de $x$ . Esto es suficiente para demostrar que mi respuesta es incorrecta, pero ¿qué me he perdido?

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Edición: Esta pregunta es más bien por qué fracasó mi enfoque entonces ¿Cuál es la forma correcta de encontrar la solución a la pregunta

Edición 2: Gracias a @J.G por señalar que mi propuesta tenía problemas. Ahora he arreglado esa parte :)

Answer 1

HINT \begin{align*} \int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\sin(x)\mathrm{d}x = a\exp\left(\frac{x}{a}\right)\sin(x) - a\int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\cos(x)\mathrm{d}x \end{align*}

Análogamente, tenemos \begin{align*} \int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\cos(x)\mathrm{d}x = a\exp\left(\frac{x}{a}\right)\cos(x) + a\int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\sin(x)\mathrm{d}x \end{align*}

Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\sin(x)\mathrm{d}x = a\exp\left(\frac{x}{a}\right)(\sin(x) - a\cos(x)) - a^{2}\int\exp\left(\frac{x}{a}\right)\sin(x)\mathrm{d}x \end{align*}

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Hay varias cuestiones aquí.

1. Su $(\ast)$ debe decir $\int e^{x/a}u(x)dx=e^{x/a}(au-a^2u^\prime+a^3u^{\prime\prime}-\cdots)+C$ .
2. Tenemos $\int e^{x/a}\sin xdx=e^{x/a}(a\sin x-a^2\cos x-a^3\sin x+\cdots)+C$ . Gracias a los poderes de $a$ se puede utilizar una serie geométrica, $\frac{a}{1+a^2}e^{x/a}(\sin x-a\cos x)+C$ . Puede comprobar por diferenciación que esto es correcto.
3. Hay ciertas cuestiones de convergencia que tenemos que abordar o pasar por alto para utilizar $(\ast)$ o la serie geométrica anterior. (Se puede entender la $a\to1^-$ límite con una cuidadosa comprensión de este .) Un enfoque más seguro es el de @user1337 o, si te gustan los métodos complejos, $$\int e^{x/a}\sin xdx=\Im\int e^{(1/a+i)x}dx=\Im\frac{1}{1/a+i}e^{(1/a+i)x}+C,$$ que te lleva al resultado anterior con bastante rapidez. (Para los complejos $a$ escribe el integrando como $\frac{e^{(1/a+i)x}-e^{(1/a-i)x}}{2i}$ en su lugar).