Quiero encontrar el número de permutaciones en $A_n$ , $n\geq 4$ que arreglan la 1 y la 3. En $S_n$ la respuesta es ciertamente $(n-2)!$ . Es $(n-2)!/2$ ? Estoy atascado aquí. ¿Podemos decir que $A_{n-2}$ y $\{\sigma\in A_n:\sigma(1)=1,\sigma(3)=3\}$ son isomorfos? Por favor, ayuda.
Respuestas
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Es más o menos así, su grupo es por definición $H:=A_n\cap \mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}$ . En particular, se trata de un subgrupo de $\mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}$ . Ahora bien, como $A_n$ es el núcleo de un morfismo de grupo sobre $\{\pm 1\}$ (esta es la llamada firma), el grupo $H$ puede verse como el núcleo de un morfismo de grupo $\phi: \mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}\rightarrow \{\pm 1\}$ (es decir, la restricción de la firma).
Si $\phi$ no es subjetivo, entonces $H=Ker(\phi)=\mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}$ .
Si $\phi$ es suryente entonces $H=Ker(\phi)$ es de índice $2$ en $\mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}$ . Ya que en un $\mathfrak{S}_k$ (con $k\geq 2$ ) existe un único subgrupo de índice $2$ : $A_k$ vemos que $H=A_k$ .
Supongamos ahora que $n=3$ entonces $\mathfrak{S}_{\{2,4,5,...,n\}}$ es el grupo trivial por lo que $H=A_1$ .
Si $n>3$ entonces $\phi((2,4))=-1$ así que $\phi$ es suryente y, de nuevo, $H=A_{\{2,4,5,...,n\}}$ .
Si $n>3$ entonces $|H|=\frac{(n-2)!}{2}$ y si $n=3$ entonces $|H|=1=(n-2)!$ .
azimut
Puntos
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Denote su grupo por $H$ y que $X = \{2,4,5,\ldots,n\}$ . Es sencillo comprobar que $H \to A_X$ , $\sigma \mapsto \sigma|_X$ bien definido, biyectivo y un homomorfismo de grupo. Así que $H \cong A_X \cong A_{\lvert X\rvert} = A_{n-2}$ y por lo tanto $$ \lvert H\rvert = \lvert A_{n-2}\rvert = \begin{cases} n!/2 & \text{if }n > 3;\\1 & \text{ f }n = 3.\end{cases} $$
