En un curso de «cálculo avanzado», mañana me refiero a la conectividad (en el contexto de los espacios métricos, incluida en particular la línea real).
¿Cuáles son buenos ejemplos de aplicaciones de la idea de conexión?
Los ejemplos de alta relación wow son especialmente bienvenidos ... :)
Puede usar la conectividad de $\mathbb R^n \setminus 0$ para $n\geq 2$ para mostrar que no existe un álgebra de división $\mathbb R$% de ninguna dimensión impar $n\geq 3$.
Tome cualquier $n\geq 1$ impar y un $\mathbb R$-álgebra $A$ de dimensión $n$. Para $a\in A$ denote por $f(a)$ el determinante del mapa lineal $A\to A$ dado por $x\mapsto ax$. Esta es una función continua en $A$ y tenemos $f(1)=1$ y $f(-1)=-1$ porque $n$ es impar. Si $A$ es un álgebra de división, entonces $f(a)$ es distinto de cero para todo $a\neq 0$, lo que obliga a $A\setminus 0$ a desconectarse. De ahí $n=1$.
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