Un detalle en la prueba de que los campos vectoriales invariantes de la izquierda son suaves

Question

Estoy tratando de entender una prueba de la siguiente proposición:

Dejemos que $X$ sea un campo vectorial invariante a la izquierda en el Grupo de Lie $G$ . Entonces, $X$ es suave.

La prueba es la siguiente:

"Dejemos $X$ se deja invariable. Basta con demostrar que $^1$ $$ Xf: G\rightarrow \mathbb{R} \\ x\mapsto f_*(x)(X(x)) $$ es suave para cualquier función $f$ .

$$ (Xf)(x) = f_*(x)(X(x)) \\ = f_*(x)(L_{x,*}(e)(X(e)))\\ = (f\circ L_x)_*(e)(X(e))) $$ que es claramente suave".

Pregunta:

$^1$ : Pensé que la definición de $Xf$ era tal que $Xf(x):= X_xf$ . Y esto no es lo mismo que $f_*(x)(X(x))$ .

Answer 1

Creo que el problema aquí es el isomorfismo canónico $\mathbb{R}\simeq T_p\mathbb{R}$ para todos $p\in\mathbb{R}$ . Tenga en cuenta que si $f:G\to\mathbb{R}$ entonces $f_*|_x : T_x G\to T_{f(x)}\mathbb{R}\simeq \mathbb{R}$ y por eso puedes identificar $f_*|_x(X|_x)\in T_{f(x)}\mathbb{R}$ con $X|_x f\in \mathbb{R}$ .