Utilizar la BMCT para demostrar la secuencia $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ está acotado y es creciente.

Question

Mi solución:

Prueba de (1)

$$< \sqrt{2 + 2} \text{ by I. H.}$$

$$= 2$$ Según se requiera. Por lo tanto, por PMI $\{a_n\}$ está limitada por encima por 2

Prueba de (2)

$$(a_n - 2)(a_n + 1) < 0$$

Por lo tanto, $\{a_n \}$ es estrictamente creciente.

Mediante la BMCT se establece que si una secuencia está acotada por arriba y es estrictamente creciente, entonces converge. Por lo tanto esta secuencia por BMCT converge.

¿Es esto correcto? ¿Hay algo más que deba decir o añadir?

Answer 1

Me gusta el siguiente razonamiento. $$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{2+a_n-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{(2-a_n)(a_n+1)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$ y después de su prueba de $a_n<2$ obtenemos que $\{a_n\}$ está aumentando.

Answer 2

He aquí una generalización. Mi respuesta original está al final.

Si $a_{n+1} =\sqrt{a_n+d^2-d} $ donde $d > 1$ , entonces una vez $a_n < d$ entonces $a_n \to d$ linealmente.

Este problema es el caso $d = 2$ .

Si $a_n \lt d$ entonces $a_{n+1} \lt \sqrt{d+d^2-d} =d $ , para que todos los siguientes $a_n < d$ .

Dejemos que $a_n = b_n+d$ . Quiere demostrar que $b_n \to 0$ .

Desde $0 < a_n < d$ , $-d < b_n < 0$ o $d^2-d < b_n+d^2 < d^2$ o $\sqrt{d^2-d} < \sqrt{b_n+d^2} < d $ .

Entonces $b_{n+1}+d =\sqrt{b_n+d+d^2-d} =\sqrt{b_n+d^2} $ para que

$\begin{array}\\ b_{n+1} &=\sqrt{b_n+d^2}-d\\ &=(\sqrt{b_n+d^2}-d)\dfrac{\sqrt{b_n+d^2}+d}{\sqrt{b_n+d^2}+d}\\ &=\dfrac{b_n}{\sqrt{b_n+d^2}+d}\\ \text{so}\\ |b_{n+1}| &=\dfrac{|b_n|}{|\sqrt{b_n+d^2}+d|}\\ &\lt\dfrac{|b_n|}{\sqrt{d^2-d}+d}\\ \end{array} $

así que $b_n \to 0$ linealmente.

Tenga en cuenta que esto también muestra que $|b_{n+1}| \gt \dfrac{|b_n|}{2d} $ , por lo que la convergencia es como máximo lineal.

Desde $b_n \to 0$ , $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} \to \dfrac1{2d} $ , por lo que esta es la tasa de convergencia exacta.

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Si $a_n \lt 2$ entonces $a_{n+1} \lt \sqrt{4} = 2$ , por lo que la secuencia está acotada.

Dejemos que $a_n = b_n+2$ . Quiere demostrar que $b_n \to 0$ .

Desde $0 < a_n < 2$ , $-2 < b_n < 0$ o $2 < b_n+4 < 4$ o $\sqrt{2} < \sqrt{b_n+4} < 2$ .

$b_{n+1}+2 =\sqrt{b_n+4} $ o

$\begin{array}\\ b_{n+1} &=\sqrt{b_n+4}-2\\ &=(\sqrt{b_n+4}-2)\dfrac{\sqrt{b_n+4}+2}{\sqrt{b_n+4}+2}\\ &=\dfrac{b_n}{\sqrt{b_n+4}+2}\\ \text{so}\\ |b_{n+1}| &=\dfrac{|b_n|}{|\sqrt{b_n+4}+2|}\\ &\lt\dfrac{|b_n|}{2+\sqrt{2}}\\ \end{array} $

así que $b_n \to 0$ linealmente.

Tenga en cuenta que esto también muestra que $|b_{n+1}| \gt \dfrac{|b_n|}{4} $ , por lo que la convergencia es como máximo lineal.

Desde $b_n \to 0$ , $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} \to \dfrac14 $ .